3.3.1 两条直线的交点坐标教学设计实例

直线的交点

【课时】直线与方程第5课

【课型】新授课

【目标】能够利用解方程组的方法求两直线的交点坐标；理解两条直线平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系；能够求解直线系所过定点坐标

【重点】两条直线交点坐标的求解；共点直线系所过定点的坐标求解

【难点】根据直线方程判断两直线的位置关系；共点直线系所过定点的求法理解

【过程】

课题引入

通过坐标系，直线与方程建立了对应关系：任意一条直线，都对应着唯一一个二元一次方程，任意一个二元一次方程，都对应着唯一一条直线；解析几何的主要研究方法是通过代数运算解决几何图形的性质，如果以直线的方程为工具，同学们认为利用直线的方程可以解决直线的哪些几何问题呢

——显然，一方面可以解出方程组的解，得到直线的交点；二方面可以通过方程组的解的个数，得到直线的位置关系

直线的交点

问题1 设直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20相交，试求出直线l1,l2交点的坐标

略解

联立方程得BxByBA1xB1yC10A12B12C12，即21CBA2xB2yC20AB2x1BBy2100，相减得(A1B2A2B1)x

B1C2B2C1，则x1.直线交点的求解

B1C2B2C1CAC2A1

(A1B2A2B10)，同理得y12A1B2A2B1A1B2A2B1设直线l1:A则l1,l2的交点的坐标就是方程组

1xB1yC10,l2:A2xB2yC20相交，A1B2xB1B2yC1B20的解

A2B1xB2B1yC2B10问题2 试求出直线l1:xy0,l2:2x2y10的交点坐标；你明白该方程组无解的原因吗？由此你能够提供判断直线位置关系的新方法吗？

略解

xy0联立方程得，故10，即方程组无解；由于所给直线斜率相等且纵截距不2x2y10同，故该直线平行，故方程组无解；由此得：若方程组无解，则直线平行；若方程组有唯一解，则直线相交；若方程组有无数个解，则直线重合

2.直线位置的判断

对于直线l1:A若方程组1xB1yC10与l2:A2xB2yC20，A1xB1yC10无A2xB2yC20解，则直线l1与l2平行；若方程组A1xB1yC10有唯一解，则直线l1与l2相交；若方A2xB2yC20A1xB1yC10程组有无数解，则直线l1与l2重合

AxByC0222问题3 当m变化时，关于x,y的方程3x4y2m(2xy2)0表示什么图形？这些图形有何特点呢？

略解

对于任意给定的实数m，原方程即(32m)x(4m)y2m20，表示二元一次方程，故其几何图形是一条直线；当实数m变化，方程变化，对应的直线位置变化

可用几何画板显示动画，得到这些直线经过同一个定点，再思考如何寻找这些直线所过定点的坐标

方法一：先特殊寻找再一般证明，令m4,3，得两直线交点(2,2)，再由2(32m)

22(4m)2m20知，直线3x4y2m(2xy2)0过点(2,2)

方法二：利用方程恒成立寻找，设定点为(x0,y0)，则3x04y02m(2x0y02)0任意m恒成立，则3x04y020，且2x0y020，解得定点为(2,2)

3.共点直线所过定点

方程A1xB1yC1m(A2xB2yC2)0(mR)表示的直线过定点，且定点就是直线

对A1xB1yC10与直线A2xB2yC20的交点

例1 若直线kxy2k0与xy10相交，且交点在第四象限，求k的取值范围

略解

方法一：联立方程得有kxy2k0k32k2,)，又交点在第四象限，则，得交点(1k1kxy10k32k20,0，解得3k1

1k1k方法二：由kxy2k0，得k(x1)y20过定点(1,2)，又xy10与坐标轴交点为(1,0),(0,1)，作图知直线kxy2k0斜率3k1

例2 若直线(1)x(12)y30所过定点为A，且点A在直线mxny10上，其中m,n都是正数，求略解

12的最小值

mn由(1)x(12)y30，得xy3(x2y)0xy30，解得定点A的x2y0坐标为(2,1)，则2mn1，由到122mn2(2mn)n4m48，故得mnmnmn12的最小值是8

mn评注

掌握共点直线A1xB1yC1m(A2xB2yC2)0所过定点的两种具体求法，体会其中一般与特殊的关系以及方程恒成立的处理

小结

理解直线的交点个数与对应方程构成的方程组公共解的个数的关系；能够通过解代数的方程组判断直线的位置关系；初步掌握经过两条相交直线交点的直线系形式的特征，并能够求出共点直线系所过定点的坐标

作业

《作业手册》课下作业（二十）第1题至第8题