1.1.2 四种命题教学活动设计方案

1.1.2

四种命题间的相互关系

班级 姓名： 学号： 使用时间：

【学习目标】

1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点) 2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．(难点) 3．利用命题真假的等价性解决简单问题．(难点、易错点) 【学习过程】

教材整理1

四种命题

阅读教材P4～P6，完成下列问题．

1．四种命题的概念

一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题．把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

2．四种命题的形式

原命题：若p，则q.

逆命题：若q，则p.

否命题：若¬p，则¬q.

逆否命题：若¬q，则¬p.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有的命题没有逆命题．(

) (2)四种命题中，原命题是固定的．(

) (3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”．(

) 四种命题的概念

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题：

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0;

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.

注意：如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．

2．常见词语的否定

词语

否定

1

是

不是

都是

不都是

＞

≤

至少有n个

至多有n－1个

至多有n个

至少有n＋1个

练习：

1．(1)命题“若m＞n，则m－1＞n－2”的逆否命题为________．

(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题：

①正数的平方根不等于0；

②若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0.

教材整理2

四种命题间的相互关系

阅读教材P6～P8，完成下列问题．

1．四种命题之间的相互关系

2．四种命题的真假关系

(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况

原命题

真

真

假

假

(2)四种命题的真假性之间的关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题都没有．(

) (2)两个互逆命题的真假性相同．(

) (3)命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数有3个．(

) 四种命题真假的判断

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断它们的真假：

(1)正偶数不是素数；

(2)平行于同一条直线的两条直线平行．

2

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

练习：

1．下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．

其中是真命题的是________．

等价命题的应用

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假.

练习：

3．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.

课堂练习：

1．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是(

) A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”

B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”

D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”

2．命题“如果x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是(

) A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1

B．如果－1＜x＜1，则x2＜1 C．如果x＞1或x＜－1，则x2＞1

D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1 3．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(

) A．1

B．2

C．3

D．4 4．有下列四个命题：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．

15．已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c＜1，则a，b，c中至少有一个小于. 3

3