小结教学实录与评析

章节复习

导数与函数的单调性

花凉中学 陈芳

一、教学目标：1·了解可导函数的单调性与其导数的关系；

2·利用导数证明函数的单调性；

3·利用导数求函数的单调区间。

二、教学重点：1·利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性；

2·利用导数求函数的单调区间。

教学难点：1·判断复合函数的单调区间及应用；

2·函数的单调性的应用. 三、教学过程

（一）复习回顾

1.函数的单调性与导数的关系

(1)设函数f(x)在某个区间内可导: ①

若

f '(x)>0

,则f(x)在这个区间内是增函数; ②

若

f '(x)<0

,则f(x)在这个区间内是减函数; ③

若

f '(x)=0

,则f(x)在这个区间内是常数函数. (2)求可导函数f(x)单调区间的步骤: (i)确定f(x)的定义域; (ii)求导数f '(x); (iii)解不等式f

(x)＞0，得函数的单调递增区间；

2.

解不等式f (x)＜0，得函数的单调递减区间．

3.

注意:(1)函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f '(x)≥0; f '(x)>0是f(x)在(a,b)内

单调递增的充分不必要条件; （2)求函数的单调区间应遵守定义域优先的原则,否则易导致错误. （二）自测题  1.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间为

2.若函数f(x)=ax-12x+a的单调递减区间为(-2,2),则实数a=

3

3.定义在R上的可导函数f(x),已知y=ef'(x)的图象如图所示, 则y=f(x)的增区间是

.  

4.已知函数f(x)=sin x-x,则不等式f(x+2)+f(1-2x)<0的解集是

15.若函数f(x)=3x3+x2-ax+3a在区间[1, 2]上单调递增,则实数a的取值范围是

6.已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f '(-1)=-1,则函数f(x)的单调增区间是

（三）

考点突破

4

考点一

证明函数的单调性

例1 已知函数f(x)=ax-2x2(a>0),x∈(0,+∞),求证:f(x)在f '(x)的单调减

1区间上也单调递减.

规律总结：证明函数单调性有导数法和定义法两种,解决问题时常用导数法,即要

证明f(x),x∈D单调递增(减),只要证明f '(x)≥0,x∈D(f '(x)≤0,x∈D)成立. xe变式1-1 已知f(x)=+x2 ,求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.

考点二

求函数的单调区间

axe例2 设函数f(x)=x+bx,曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4. (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间.

易错警示：求解函数单调区间时首先要考虑定义域,其次求导后解不等式求单调区间,若区间不止一个,这些区间要分开写，用“,”或“和”隔开,不能用“∪”连接. x变式2-1 求函数f(x)= lnx

的单调区间.

考点三

函数单调性的应用

命题方向一

已知函数的单调性,求参数的取值范围

例4若函数f(x)=mx2+ln x-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是

. 规律总结：已知函数的单调性,求参数的取值范围的两种方法: 方法一：已知定函数f(x)在动区间(a,b)(a

命题方向二

利用函数的单调性解不等式

例5 (2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+e-e,其中e是自然对

数的底数.若f(a-1)+f(2a)≤0,则实数a的取值范围是

2xx规律总结：利用函数的单调性“脱的单调性,进而解不等式.

f”转化为具体的不等式是解题关键,有时还需要利用导数公式以及运算法则的逆向应用构造新函数,再利用导数求函数a13变式3-1 设函数f(x)=3x-2x2+bx+c,曲线y=f(x)在点(0, f(0))处的切线方程为y=1 (1)求b,c的值; (2)若a>0,求函数f(x)的单调区间; (3)设函数g(x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围. （四）课堂小结

1．导数与单调性的关系；2. 函数f(x)单调区间的步骤； 3．函数单调性的应用。

（五）作业：见课后作业

（六）板书设计

导数与函数的单调性

1.

函数的单调性与导数的关系 考点突破：考点一

证明函数的单调性

2.

求可导函数f(x)单调区间的步骤 考点二

求函数的单调区间

3.

自测题 考点三

函数单调性的应用

课堂小结与作业

（七）课后反思

附： 导数与函数的单调性练习题

1.函数y=

+2ln x的单调减区间为

.

2.已知函数f(x)的导函数为f '(x),若y=2f '(x)的图象如图所示,则函数f(x)的单调增区间

为

.

3.若函数f(x)=(x2-cx+5)ex在区间

, 上单调递增,则实数c的取值范围是

.

4.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f '(x)<0,设a=f(0),b=f

,c=f(3),则a,b,c的大小关系为

.

5.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围

是

.

6.若函数f(x)=-x3+x2+2ax在

,

∞

上存在单调递增区间,则实数a的取值范围

是

.

7.若函数f(x)=ex(-x2+2x+a)在区间[a,a+1]上单调递增,则实数a的最大值为

.

8.已知函数f(x)=-

x2+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是

.

9.已知函数f(x)=

+

-ln x-

,其中a∈R,且曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线垂直于直线y=

x. (1)求a的值; (2)求函数f(x)的单调区间. 10.已知函数f(x)=(x+1)ln x-ax+a(a为正实数,且为常数). (1)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.