3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学实录

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

§3.1.1直线的倾斜角与斜率（1）

学习目标：

1、

正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；

2、

会解决已知倾斜角（的范围）求斜率（的范围）；

3、

会解决已知斜率（的范围）求倾斜角（的范围）．

课前预习案

1．填表



0

235



3466432

sin

cos

tan

2．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”

（1）直线l的倾斜角为，则此直线的斜率为tan． （ ）

（2）直线l的倾斜角增大，它的斜率也随着增大． （ ）学科网Z（3）若直线斜率k=-1，则它的倾斜角为135°． （ ）

课中探究案

探究一 直线的倾斜角

问题1：请同学们在右图的平面直角坐标系中过点P任作四条直线，这些直线的区别在哪里？对于每一条直线，它的位置由哪些条件确定呢？

y 

P

x

o

问题2：以x轴作为基准，当直线l与x轴相交时，可形成四个角，选取哪个角来描述直线的倾斜程度？

1

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

2．倾斜角的定义

当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 正

向与直线l向

上 方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角

试一试1：请指出下列四个图中直线的倾斜角问题并思考直线倾斜角的范围是什么？

探究二

直线的斜率

问题3：能否用其他量来描述直线的倾斜程度？选什么量？这个量与倾斜角有什么联系？

2．斜率的定义

把一条直线的倾斜角的

正切值 叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即

k= 试一试2：如图，已知等边三角形ABC，若直线AB平行于,y轴，则∠C的平分线所在的直线的倾斜角为 ，斜率为 ，边AC所在的直线的倾斜角为 ，斜率为 ．

y A

问题4：在坐标系中画出正切函数在一个周期O B C x ,内的函数图像，并思考当直线倾斜角分22别为零角．锐角．直角．钝角时直线的斜率的取值范围分别是什么？

2

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

试一试3：下列关于直线的倾斜角和斜率的哪些说法是正确的？

①直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan．②任一条直线都有倾斜角，也都有斜率．

③直线的倾斜角越大，它的斜率就越大． ④平行于x轴的直线的倾斜角是0或π．

⑤若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等．⑥斜率相等的直线其倾斜角相等．

试一试4：直线l1．l2．l3l的倾斜角分别为1．2．3，4,

4，y

l3l2

斜率分别为k1，k2，k3，k4，分别比较倾斜角与斜率的大小

题型一 知倾斜角求斜率

例1 已知下列直线的倾斜角为,求直线l的斜率k的值或取值范围：

x

l1（1）当0时,k （2）当30时,k

（3）当45时,k （4）当60时,k （5）当90时,k （6）当120时,k （7）当135时,k （8）当150时,k (9)直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为_________，斜率为____________．

3，则此直线的斜率为____________．

2253,,,,分别求出k取值范围：

（11）若,,643634(10)已知直线AB倾斜角的正弦值为

题型二 知斜率求倾斜角

例2 直线l的斜率为k，倾斜角为，若1k

3，则的范围是 3，则的范围是

3变式1:

直线l的斜率为k，倾斜角为，若1k

变式2:

直线l的斜率为k，倾斜角为，若1k

3

3，则的范围是

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

变式3:

直线l的斜率为k，倾斜角为，若k,13,，则的范围是 课后训练案

1．对于下列命题

①若是直线l的倾斜角，则0°≤<180°； ②若k是直线的斜率，则k∈R；

③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．

其中正确命题的个数是(

) A．1 B．2 C．3 D．4 2．没有斜率的直线一定是(

) A．过原点的直线 B．垂直于x轴的直线 C．垂直于y轴的直线

D．垂直于坐标轴的直线

3．直线x1的倾斜角和斜率分别是 5．已知直线l的倾斜角为，且0135，则直线的斜率l的取值范围是

6．如图，ABC是正三角形，CDE30，求三条直线AB．BC．AC的斜率．

7．在同一直角坐标系中，如图中，表示直线yax与yxa正确的是[来源:学科网]

4

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

§3.1.1直线的倾斜角与斜率（2）

学习目标：

了解两点的直线的斜率公式的推导，熟记过两点的直线的斜率公式，并会用斜率公式求两点的直线的斜率．

课前预习案

1．在直角坐标系中，作出经过两点 A（2，4）．B（－1，3）的直线，并在图中标出直线AB的倾斜角，你能求出直线AB的斜率吗？

试一试

2．判断：三角形ABC的三顶点A(1,0)．B(2,0)．C(1,3)，则直线BC的斜率k与tanB的值相同． 课中探究案

探究一 由直线上两点的坐标计算直线的斜率

问题1：已知直线上的两点p1(x1,y1)，p2(x2,y2)，且直线p1p2与x轴不垂直，即p1(x1,y1)，直线p1p2的斜率是什么呢？

试求一下．

y P2（x2，y2）

y P2（x2，y2）

P1（x1，y1）

P1（x1，y1）

x 

o o （2）

X (1)

结论：

k=

（其中 ）

思考1：当直线p1p2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

经过两点p1(x1,y1)，p2(x2,y2)（x1x2）的直线的斜率公式：

5

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

思考2：已知直线上两点A(a1,a2)，B(b1,b2)，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A,B

两点坐标的顺序有关吗？

思考3：当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？

探究一 已知两点求斜率

试一试1．求经过下列两点直线的倾斜角．

（1）已知直线上两点A（2，-3）．B（6，5），求直线AB的斜率．

（2）已知直线上两点A（2，1），B（3，1），求直线AB的斜率．

（3）已知直线上两点A（2，1），B（2，6），求直线AB的斜率．

（4）已知直线过P(2,1),Q(M,2),求切线的斜率

例1．已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角．

y

O

练习1.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．

（1）C（1，1），D（2，4）； （2）P（-3，5），Q（0，2）

（3）A（4，4）B（4，5） （4）E（10，2）F（-10，2）

x

6

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

例2已知过两点A(m22,m23)，B(3m2m,2m)的直线l的倾斜角为45，求实数m的值

探究二 知点与斜率画直线

例3 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线l1,l2,l3及l4．

探究二 三点共线问题

例4 已知A(3,5)B(1,3)C(5,11)三点，证明这三点在同一条直线上

练习2. 已知A(a,2)B(5,1)C(4,2a)为顶点不能构成三角形，求a的值

7

0y

O

x

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

课后训练案

1．已知直线l经过C（18，8），D（4，－4）两点 , 则l的倾斜角为( ) (A)锐角 (B)钝角 (C)直角 (D)不确定

2．斜率为2的直线过点A(1,2)．B(1,b)．C(a,6)，则a．b的是值是（ ）

A．a3,b2

B．a3,b2

C．a2,b3

D．a2,b3

3．已知点A（- m，2），B（5，3m) （1）m= 时，过点A．B的直线的斜率为2．

（2）m = 时，过点A．B的直线的倾斜角为135°

4．判断：

（1）若A(1，-3)．B(1，3)，则直线AB的倾斜角为90° （ ）

（2）若直线过点(1，2)，且它的倾斜角为45°，则这直线必过(3，4)点；（ ）

（3）若直线斜率为，则这条直线必过(1，1)与(5，4)两点（ ）

5．a,b,c是两两不等的实数，则经过p(b,bc),C(a,ac)两点直线的倾斜角为________．

6．下列三点能构成三角形的三个顶点的为(

) A．(1,3),(5,7),(10,12) B．(-1,4),(2,1),(-2,5) C．(0,2),(2,5),(3,7) D．(1,-1),(3,3),(5,7)

8

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

§3．1．2 两条直线平行与垂直的判定

学习目标：

熟记两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直．

课前预习案

1.

填空

定义

范围

直线的倾斜角

斜率

斜率公式

2.

倾斜角为,直线l的斜率k的值

（1）当30时,k （2）当120时,k

3．已知直线l经过C（16，8），D（4，－4）两点 , 则l的斜率为 ，倾斜角为 角．

3.

平面内两直线的位置关系：

课中探究案

探究一 两条直线平行

问题1：（1）平面内两条不重合的两条直线的位置关系有哪几种？

（2）两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？

（3）两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？

两条不重合的直线l1,l2其斜率分别为k1,k2，l1//l2

注意：若直线l1,l2可能重合时，得k1k2 试一试1：

1．下列说法正确的有( ) ①若两直线斜率相等,则两直线平行; ②若l1//l2，则k1=k2；

9

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交; ④若两直线斜率都不存在,则两直线平行．

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

题型一 两条直线平行

y 例1

已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论．

练习1：判断下列个小题中的直线l1,l2是否平行？

（1）l1经过点A(1,2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(1,1)

（2）l1的斜率为1, l2经过点A(1,1),B(2,2)

（3）l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(1,3),N(2,0)

（4）l1经过点A(3,2),B(3,10),l2经过点M(5,2),N(5,5)

（5）l1经过点A(2,a),B(a1,3),l2经过点M(1,2),N(2,a2)，若l1//l2，求实数a的值

例2

已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形

状,并给出证明．

10

x O

y x O

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

练习2 已知直线l1经过两点A(2, 3), B(-1, 0) ，直线l2经过点P(1, 0)且斜率为1，试判断直线l1与l2位置关系．

探究（二）两条直线垂直的判定

问题2：设两条直线l1,l2的倾斜角分别为1,2，(1,290)，若l1l2，这时12为什么？两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2，且290两斜率之间有何联系？

问题3：当k1k2时，l1与l2的位置关系如何？

00l1l2

问题4：两条直线垂直，一定是它们的斜率乘积为－1这种情况吗？ （ ）

题型二 两条直线垂直

例3 已知A．B．C．D四点的坐标，试判断直线AB与CD的位置关系．

（1）A（2，3）， B（－4，0）， C（－3，l）, D（－l，2）；

（2）A（－3，2），B（－3，10）， C（5，－ 2 ）, D（5，5）．

（3）A（－6，0），B（3，6）， C（0，3）， D（6，－6）

（4）A（ 3 ，4）， B（3，100）， C（－10，40）, D（10，40）．

练习3：

直线l1经过两点C(3, 1), D(-2, 0) ，直线l2经过点M(1, - 4)且斜率为- 5 试判断下列直线l1与l2位置关系．

11

双流艺体中学三案四段学案

编制：巫小玲

审定：高2017届数学组

例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3)三点, 试判断△ABC的形状．

练习4：l1经过点A(2,a),B(a1,3),l2经过点M(1,2),N(2,a2)，若l1l2，求实数a的值

例5：已知四边形ABCD的顶点为A(2,222), B(-2,2), C(0，222),D(4,2)四点, 试证四边形ABCD为矩形

课后训练案

1．已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6),试判断直线AB与PQ的位置关系？

2．直线l1．l2的斜率是方程x－3x－1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（ ）

A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直

3．给定三点A（1，0）．B（－1，0）．C（1，2），则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（ ）

A．（0，1） B．（0，0） C．（－1，0） D．（0，－1）

4．已知点A（m，1),B(-3，4),C（1，m),D（－1，m＋1),分别在下列条件下求实数m的值: （1）直线AB与CD平行；

（2）直线AB与CD垂直．

12

2