1.2.1 中心投影与平行投影名师教学实录

1.2.1

中心投影与平行投影

学习目标

了解中心投影和平行投影.

知识点一

投影的概念

(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．

(2)投影线：光线．

(3)投影面：留下物体影子的屏幕．

知识点二

投影的分类

投影

中心投影

平行投影

知识点三

三视图

(1)定义

定义

光由一点向外散射形成的投影

在一束平行光线照射下形成的投影

特征

投影线交于一点

投影线平行

分类

正投影和斜投影

(2)三视图的画法规则

①正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；

②正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；

③俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．

(3)三视图的排列顺序：先画正视图，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边．

1．直线的平行投影是直线．(×) 2．圆柱的正视图与侧视图一定相同．(×) 3．球的正视图、侧视图、俯视图都相同．(√)

类型一

中心投影与平行投影

例1

下列说法正确的是(

) A．矩形的平行投影一定是矩形

B．平行投影与中心投影的投影线均互相平行

C．两条相交直线的投影可能平行

D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点

考点

平行投影

题点

判断平行投影的结果及应用

答案

D 解析

平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影的形状不固定，故A不正确．平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点，故B不正确．无论是平行投影还是中心投影，两条直线的交点都在两条直线的投影上，因而两条相交直线的投影不可能平行，故C不正确．两条线段的平行投影长度的比等于这两条线段长度的比，故D正确．

反思与感悟

(1)判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．

(2)画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得出此图形在该平面上的投影．

跟踪训练1

如图1所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图2中的________．(填序号)

考点

平行投影

题点

判断平行投影的结果及应用

答案

①②③

解析

要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A，G，F，E在每个面上的投影，再顺次连接即得到在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．

在平面ABCD和平面A1B1C1D1上的投影是图①；在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的投影是图②；在平面ABB1A1和平面DCC1D1上的投影是图③. 类型二

三视图的识别与画法

命题角度1

三视图的判断

例2

将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(

)

考点

多面体的三视图

题点

多面体的三视图

答案

B 解析

显然从左边看到的是一个正方形，因为割线AD1可见，所以用实线表示；而割线B1C不可见，所以用虚线表示．故选B.

反思与感悟

根据空间几何体的直观图找三视图可以直接进行，找正视图就从正面看过去，找侧视图就从左边向右边看去，找俯视图就从上面向下面看去．注意能看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．

跟踪训练2

一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是________．(填序号)

考点

多面体的三视图

题点

多面体的三视图

答案

②

解析

该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此填②. 命题角度2

画几何体的三视图

例3

画出如图所示的几何体的三视图．

考点

多面体的三视图

题点

棱锥的三视图

解

正四棱锥的三视图如图所示，

考点

简单组合体的三视图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图

解

反思与感悟

画三视图的注意事项：

(1)务必做到长对正，宽相等，高平齐．

(2)三视图的安排方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．

(3)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

跟踪训练3

如图是同一个圆柱的不同放置，阴影面为正面，分别画出它们的三视图．

考点

旋转体的三视图

题点

圆柱的三视图

解

三视图如图所示．

(1)

(2)

类型三

由三视图还原几何体

例4

(1)说出下面的三视图表示的几何体的结构特征．

考点

多面体的三视图

题点

棱台的三视图

解

几何体为三棱台，结构特征如下图：

(2)根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．

考点

简单组合体和三视图

题点

其他柱、锥、台、球组成的三视图

解

此几何体上面为圆台，下面为圆柱，所以实物草图如图所示．

反思与感悟

(1)通过正视图和侧视图确定是柱体、锥体还是台体．若正视图和侧视图为矩形，则原几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为等腰梯形，则原几何体为台体．

(2)通过俯视图确定是多面体还是旋转体，若俯视图为多边形，则原几何体为多面体；若俯视图为圆，则原几何体为旋转体．

跟踪训练4

某几何体的三视图如图所示，则该几何体是什么？它的高与底面面积分别是多少？

考点

多面体的三视图

题点

棱锥的三视图

解

由三视图可知，该几何体为三棱锥(如图)，

11AC＝4，BD＝3，高为2.S△ABC＝AC·BD＝×4×3＝6. 22

1．一条直线在平面上的平行投影是(

) A．直线

C．点或直线

考点

平行投影

题点

平行投影的判断

答案

C 解析

当投影线与该直线平行时直线的平行投影为一个点；当投影线与该直线不平行时，直线的平行投影为一条直线．

2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(

) B．点

D．线段

考点

简单组合体的三视图

题点

切割形成几何体的三视图

答案

D 解析

从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的．

3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(

) A．球B．三棱锥C．圆柱D．正方体

考点

旋转体的三视图

题点

圆柱的三视图

答案

C 解析

球的正视图、侧视图和俯视图均为圆，且形状相同，大小相等；三棱锥的正视图、侧视图和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图、侧视图和俯视图均为正方形，且形状相同，大小相等；圆柱的正视图、侧视图和俯视图不可能形状相同，故选C. 4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(

)

考点

由三视图还原实物图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图

答案

D 解析

由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D. 5．有一个正三棱柱(俯视图为正三角形)的三视图如图所示，则这个三棱柱的高和底面边长分别为________．

考点

多面体的三视图

题点

棱柱的三视图

答案

2,4 解析

由正三棱柱三视图中的数据，知三棱柱的高为2，底面边长为23×

1．三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体三视图的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，2＝4. 3

俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．

2．画组合体的三视图的步骤

特别提醒：画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，看不见的轮廓线和棱用虚线表示．

一、选择题

1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC(

) A．全等

C．不相似

考点

中心投影

题点

中心投影的判断与应用

答案

B 解析

中心投影的投影线交于一点，几何体在这种投影下的形状相似．

2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为(

) B．相似

D．以上都不正确

考点

平行投影

题点

判断平行投影的结果及应用

答案

A 解析

点D在平面ADD1A1上的投影为点D，点M在平面ADD1A1上的投影为AA1的中点，点N在平面ADD1A1上的投影为DA的中点，连接三点可知A正确．

3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(

)

A．①②B．①③C．②③D．②④

考点

多面体的三视图

题点

棱锥的三视图

答案

D 解析

在各自的三视图中，①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．

4．一个长方体去掉一角，如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是(

)

考点

简单组合体的三视图

题点

切割形成几何体的三视图

答案

A 解析

由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面．正视图中，长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的正投影分别和矩形的两边重合，故A对，B错；侧视图中的线应是虚线，故C错；俯视图中的线应是实线，故D错．

5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(

)

考点

由三视图还原实物图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图

答案

D 解析

由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将三视图还原为几何体，可得选项D. 6．如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是(

)

考点

简单组合体的三视图

题点

切割形成几何体的三视图

答案

A 解析

对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的正视图的矩形中，对角线是虚线，故不符合题意；对于C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，且方向也不对，故不符合题意．故选A. 7．已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为(

)

A．8B．4C．43D．23 考点

多`面体的三视图

题点

棱柱的三视图

答案

C

解析

设该三棱柱的侧棱长为a，则2a＝8，所以a＝4，该三棱柱的侧视图是一个矩形，一边长为4，另一边长等于三棱柱底面等边三角形的高，即为3，所以侧视图的面积为43，故选C. 8．一个几何体的正视图和侧视图都是面积为1的正方形，则这个几何体的俯视图一定不是(

)

考点

由三视图还原实物图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图还原实物图

答案

B 解析

由于原几何体的正视图和侧视图都是面积为1的正方形，所以对于A，原几何体为三棱柱；对于B，一定不能满足其正视图和侧视图都是面积为1的正方形；对于C，原几何体为正方体；对于D，原几何体如图所示．

二、填空题

9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________．

考点

多面体的三视图

题点

棱锥的三视图

答案

1 解析

依题意得三棱锥P－ABC的正视图与侧视图分别是一个三角形，且这两个三角形的一

条边长都等于正方体的棱长，这条边上的高也都等于正方体的棱长，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积的比值为1. 10．一个几何体的三视图所示，则该几何体是________．

考点

旋转体的三视图

题点

圆台的三视图

答案

圆台

11．一个几何体的三视图如图所示，则其侧视图的面积为________．

考点

简单组合体的三视图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图

答案

4＋3 1解析

依题意得几何体的侧视图面积为22＋×2×3＝4＋3. 212．已知某组合体的正视图与侧视图相同(其中AB＝AC，四边形BCDE为矩形)，则该组合体的俯视图可以是图中的________．(把你认为所有正确图形的序号都填上)

考点

简单组合体的三视图

题点

其他柱、锥、台、球组合的三视图

答案

①②③④

解析

由正视图和侧视图可知几何体为锥体和柱体的组合体．

(1)若几何体为圆柱与圆锥的组合体，则俯视图为③；

(2)若几何体为棱柱与圆锥的组合体，则俯视图为④；

(3)若几何体为棱柱与棱锥的组合体，则俯视图为①；

(4)若几何体为圆柱与棱锥的组合体，则俯视图为②. 三、解答题

13．画出下列几何体的三视图．

考点

多面体的三视图

题点

棱柱的三视图

解

题图①为正六棱柱，可按棱柱的画法画出，其三视图如图a；题图②为一个圆锥与一个圆台的组合体，按圆锥、圆台的三视图画出它们的组合形状，其三视图如图b.

四、探究与拓展

14．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于(

) A．1 C.2－1

2B.2 D.2＋1

2考点

多面体的三视图

题点

棱柱的三视图

答案

C 解析

由正方体的俯视图是面积为1的正方形可知，正方体的正视图面积的取值范围为[1，2]，故选C.

15．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：

(1)该物体有多少层？

(2)该物体的最高部分位于哪里？

(3)该物体一共由几个小正方体构成？

考点

由三视图还原实物图

题点

由立(长)方体组合的三视图还原实物图

解

(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．

(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．

(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．