3.1.3 导数的几何意义课堂实录及点评

芜湖市汤沟中学

2017-2018学年第二学期

3.1.3

导数的几何意义

教学目标：

知识与技能：使学生理解导数的几何意义，初步体会“以直代曲”的辩证思想；掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法。

过程与方法：经过演示割线“逼近”成切线过程，让学生感受函数图象的切线“形成”过程，获得函数图象的切线的意义。

情感、态度与价值观：增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信心，培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生合作学习、创新能力。

教学重点：导数的几何意义，求曲线上过一点处的切线方程。

教学难点：“以直代曲”的数学思想方法；以及切线定义的理解——在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解。

教学过程：

一、问题情境：

1．我们知道，导数f′(x0)表示函数f(x)在x0处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x＝x0附近的变化情况，那么，导数f′(x0)是否有一定的几何意义呢？

【提示】f′(x0)有几何意义。

2．如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

【提示】点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT。

fxn－fx03．第2题图中割线PPn的斜率kn＝，当点Pn无限趋近于点P时，此斜率与切xn－x0线PT的斜率有何大小关系？

【提示】kn无限趋近于切线PT的斜率。

二、互动探究：

（一）导数的几何意义：

1．设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT

备课人：邬德来

学科：

数学

年级：高二

班级：高二(4)

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称为过点P的切线，且PT的斜率k＝lixn→mx0

fxn－fx0＝f′(x0)。

xn－x02．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)。

（二）导数的概念：

从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化fx＋Δx－fx时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数，即f′(x)＝y′＝Δlim

。

x→0Δx问题：导函数f(x)与函数在x＝x0处的导数f′(x0)相同吗？它们有什么区别与联系？

【提示】不相同。(1)两者的区别：由导数的定义知，f′(x0)是一个具体的值，f′(x)是由于f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义在I上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是数值，后者是函数。

(2)两者的联系：在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数。

三、实例解析：

例1、已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(

)

A．f′(xA)＞f′(xB)

B．f′(xA)＝f′(xB)

C．f′(xA)＜f′(xB)

D．f′(xA)与f′(xB)大小不能确定

【解析】由y＝f(x)的图象可知，kA＞kB，根据导数的几何意义有：f′(xA)＞f′(xB)。

【答案】A

例2、(1)求曲线y＝x2＋x＋1在点(1,3)处的切线方程；

(2)求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程。

【思路探究】(1)所给点是切点吗？(2)若是切点，该如何求切线方程？若不是切点该怎么办？

x＋Δx2＋x＋Δx＋1－x2＋x＋1【自主解答】(1)y′＝Δlim

＝2x＋1，∵(1,3)在曲线上，

x→0Δx∴切线斜率k＝y′|x＝1＝2×1＋1＝3。

∴所求切线方程为y－3＝3(x－1)，即3x－y＝0。

(2)y′＝2x＋1，∵点(－1,0)不在曲线上，设切点坐标为(x0，y0)，

y0则切线斜率为k＝2x0＋1＝。

x0＋1∵y0＝x20＋x0＋1，∴x0＝0或x0＝－2。

当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0，

当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0，

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数学

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故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0。

规律方法：

1．如果所给点P(x0，y0)就是切点，一般叙述为“在点P处的切线”，此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)，即得切线的斜率k＝f′(x0)，再根据点斜式得出切线方程。

2．如果所给点P不是切点，应先设出切点M(x0，y0)，再求切线方程。要特别注意“过点P的切线”这一叙述，点P不一定是切点，也不一定在曲线上。

例3、抛物线y＝x2在点P处的切线与直线4x－y＋2＝0平行，求P点的坐标及切线方程。

【思路探究】设切点Px0，y0→求导数y′＝f′x→由k＝4，求x0→确定切点Px0，y0→求切线方程

【自主解答】设P点坐标为(x0，y0)，

x＋Δx2－x22x·Δx＋Δx2Δyy′＝Δlim

＝Δlim

＝Δlim

＝Δlim

(2x＋Δx)＝2x。

x→0Δxx→0x→0x→0ΔxΔx∴y′|x＝x0＝2x0，

又由切线与直线4x－y＋2＝0平行，∴2x0＝4，∴x0＝2，

∵P(2，y0)在抛物线y＝x2上，∴y0＝4，∴点P的坐标为(2,4)，

∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0。

规律方法：

1．导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点。

2．导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题。

四、巩固练习：

1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(

)

A．不存在

B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直

D．与x轴斜交

【答案】B 2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么(

)

A．f′(x0)＞0

B．f′(x0)＜0

C．f′(x0)＝0

D．f′(x0)不存在

11【解析】由x＋2y－3＝0知斜率k＝－2，∴f′(x0)＝－2＜0。

【答案】B 3．抛物线y＝2x2在点P(1,2)处的切线l的斜率为____。

【解析】k＝f′(1)＝4。

【答案】4 14．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝2x＋2。求f(1)与f′(1)的值。

115【解】由题意f(1)＝2×1＋2＝2.由导数的几何意义得f′(1)＝k＝。

2五、小结提升：

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1．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率。也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)，相应地，切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)。

2．导数f′(x)，是针对某一区间内任意点x而言的，函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)。

六、布置作业：

1．函数y＝f(x)导函数f′(x)的图象如图，则在y＝f(x)图象上A，B的对应点附近，有(

)

A．A处下降，B处上升

B．A处上升，B处下降

C．A处下降，B处下降

D．A处上升，B处上升

【解析】∵所给图象的导函数的图象，且A点处y＜0，B点处y＞0，故原函数图象上A处下降，B处上升。

【答案】A 2．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(

) 1

A.2

B．1

C．2

D．0 【解析】由图象知f(5)＝－5＋8＝3，由导数几何意义知f′(5)＝－1，

∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2。

【答案】C b3．已知y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则a＝________。

a1＋Δx2＋b－a－b2【解析】由题意Δlim

＝lim

(aΔx＋2a)＝2a＝2，∴a＝1，又3＝a×1x→0Δx→0Δxb＋b，∴b＝2，∴a＝2。

【答案】2 4．曲线f(x)＝3x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为__________。

31＋Δx＋1＋Δx2－3－12【解析】

k＝Δlim

＝5，∵f(1)＝4，

x→0Δx由点斜式得y－4＝5(x－1)，即y＝5x－1。

【答案】y＝5x－1

备课人：邬德来

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数学

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