1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学实录

球的体积和表面积教学设计

寿宁一中

陈道建

一、

教学目标

知识目标：

1、掌握球的体积公式

、表面积公式

.

2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力. 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何问题. 能力目标：

通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生用于探索的精神，提高学生分析、综合、抽象概括等逻辑推理能力

情感目标：

通过寻求如何研究球的内切与外接的方法，培养学生将数学知识和生活实际相联系的意识，对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育。

二、

教学重、难点

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用

难点：解决与球相关的“内接”与“外切”的几何问题. 三、教学过程设计

（一）温故知新

41、复习公式：球的体积公式：V

球R33 球的表面积公式：

S球4R22.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的_______倍. (2)把球的表面积扩大为原来的2倍，那么体积扩大为原来的_______倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为_________. (4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为________. 【设计意图】：通过几个简单运算，让学生熟练掌握球的体积表面积公式.

（二）探索新知

1、截面问题球的截面的性质：

1)、球心和截面圆心的连线垂直于截面

2)、球心到截面的距离为d，球的半径为R，则

r2R2d2

例1.已知半径为5的一个球体，用一个与球心距离为4的平面截球

，则所得截面的面积为________ 22变式：在球内有相距9cm的两个平行截面，截面面积分别为49πcm和400πcm，求球的表面积.

【设计意图】通过球的示意图，让学生直观看到球的内部构造，获得球被平面所截的相关性质，通过一个例子和一个变式，使学生会运用性质解题.

2、球与正方体的“切”、“接”问题

【解释定义】“接”与“切”：两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切，两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上，解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题.

1）若正方体的棱长为a，则

⑴正方体的内切球半径＝

⑵正方体的外接球半径＝

⑶与正方体所有棱相切的半径＝

正方体的内切球：直径等于正方体的棱长

切点：各个面的中心。

球心：正方体的中心。

直径：相对两个面中心连线。

2）、球与正方体的棱相切：球的直径等于正方体一个面上的对角线长

切点：各棱的中点。

球心：正方体的中心。

直径：

“对棱”中点连线

3）、正方体的外接球：正方体的（体）对角线

2R3a

探究：正方体的内切球, 棱切球,外接球（1）三个球心合一（2）径之比为：

2:31:【设计意图】学生认知事物的规律，由简单到难，由简单到复杂的一个过程，所以这里以正方体为载体，分别探究了其内切球、棱切球、外切球的半径问题，学生容易接受.

例2：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.

变式训练：长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，求它的外接球表面积.

疑惑：一般的长方体有内切球吗？没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体.

【设计意图】通过一个例题和变式，让学生充分巩固所学知识.

2）球与正四面体的切与接

球与正四面体的“切”“接”问题图示

例3：求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.

【归纳小结：】

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合

4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理

5、体积分割是求内切球半径的通用做法

【设计意图】由球与正方体的“接切”问题到正四面体与球的“接”“切”问题，问题的难度上升了，需要有一定的空间想象思维与知识储备，通过两种方法解决内切球半径问题，体现了解决问题策略的多样化，进一步将正四面体上升到正三棱锥，到一般的三棱锥，这些问题需要学生后续探究。

（三）课时小结：

1、球的体积与表面积公式

2、多面体与球的“接”、“切”问题，主要思想“将空间问题转化为平面问题”

（四）作业布置：练习册

（五）板书设计：

球的体积与表面积

一、公式：1、

例2、

2、

二、球的相关性质：

三、例题

例3、

例1、