习题3.1教案2

《直线的倾斜角和斜率》教学设计

嘉兴市海盐高级中学 黄海英

【课题】

直线的倾斜角和斜率

【课时】 1课时

【授课时间】2018年5月19日

【教材分析】本节课选人教A版《数学》必修2第三章《直线的倾斜角和斜率》第一课时.教材从探究直线的位置入手,从几何角度引出直线的倾斜角;接着结合人们的生活直观体验，通过坡度比“自然”给出斜率的定义,完成直线倾斜程度从几何性质（倾斜角））到数的特征（正切值）的飞跃.继而分类讨论由两点确定的一条直线的倾斜角大小和两点位置，探究直线斜率的坐标公式.直达核心：坐标法研究几何性质------认识解析几何的本质.本节内容为后续研究直线方程和直线位置关系等做好铺垫；同时斜率知识还将应用到瞬时变化率及导数章节的学习. 【学生分析】本节课授课对象是普通高中高一的学生.学生在初中已经学习过直线的几何性质，知道一次函数y=kx+b的图像为直线.同学们已经学完了三角函数图像性质、恒等变换、解三角形等内容,具备数形结合,分类讨论,抽象概括等数学核心素养;学生已经具备学习本节课所需要的知识储备;该班学生思维活跃，基础扎实，具有合作探究精神，为教学有效实施提供保障. 【教学目标】

1.知识与技能：

（1）通过学习，能够求直线的倾斜角和斜率；

（2）能运用两点坐标求直线的斜率；

2.过程与方法：

通过直观感受，问题引导，几何画板实验操作等，使学生感受倾斜角与斜率概念的形成过程,初步渗透解析几何思想；由坡度比引出斜率公式，培养学生从生活中发现问题，建立数学模型的能力.探究两点坐标的直线斜率公式过程中，促进学生合作交流，渗透分类讨论思想,提高计算能力. 3.情感态度价值观：由笛卡尔的故事激发学生的探究精神，通过问题引导贯串教学，让学生自主感知，发现事件背后数学实质，体会数学来源于生活，高于生活，最后回归生活，激发学生的学习兴趣，培养学生探索精神. 【教学重点和难点】

重

点

:

直线的倾斜角和斜率的概念、两点的坐标求直线斜率公式ky2y1

x2x1难

点:

斜率的性质;过两点的直线斜率公式的推导过程. 【教学方法】

教

法:

情境感知法; 问题引导法; 实验操作法

学

法:

观察思考法; 自主探究法; ; 类比归纳法

【教学用具】

多媒体、几何画板

【教学过程】

一

. 情景引入：

多媒体展示直线的美图,引出本节课的主题------探究直线的性质.为了凸显参照系的重要, 以斜拉桥为例,让同学们直观观察斜拉索大桥,拉索所在直线在不同参照物对照下，陡缓

程度不同.要精确刻画直线的倾斜程度,引出直线的倾斜角概念.同时为了提升同学们的

数学人文素养，补充了笛卡尔的故事，调动学生学习积极性.

二

. 新课讲解

图一

图二

图三

1.直观感知: 给出如图所示的一组平行直线,由于平行线倾斜程度相同,且同位角相等,猜想”角”与倾

斜程度相关性,再用一组相交直线验证猜想,让学生直观感知直线的倾斜程度不同时,”角”的大小不一样.图三：如以x轴作为参照物，倾斜直线与x轴相交得到四个角，选择一个角作为精确刻画直线倾斜程度的角。通过几何画板进行实验演示，让同学们观察、总结描述直线倾斜程度的“角”条件，并形成数学定义. 2.

定义

直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x

轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.

3.

探究倾斜角α的定义要领与角的范围：

3.1通过多媒体动画分步作x轴正向，直线向上的方向，以及它们所成的角-------直线倾斜角.让学生发现“一点两向右上角”的倾斜角定义要领

. 3.2设计倾斜角为锐角，钝角,直角,0°角的直线,课堂练习确定倾斜角的位置和大小,加深学生对定义的理解,引导学生观察感知倾斜角的取值范围.

3.3与向量夹角的范围进行对比,突出两种角的差异,进一步巩固直线倾斜角的范围.

向量夹角范围:

α[0,]

直线倾斜角的范围:

α[0,)

4.

探究斜率定义：. 4.1发现问题:角是直线几何性质,本节课要引导学生用代数方法来研究几何性质.我们已经学习了三角函数,知道三角函数值的大小可以反映角的大小.可以用哪个三角函数值来研究倾斜角的大小? 4.2问题深入：一般借助什么图形容易研究三角函数值的大小？

学生回答: 直角三角形

4.3设计方案: 多媒体演示构造直角三角形.由直角三角形模型联想山坡的陡缓，得到坡度.

坡度比

=

升高量/前进量

,即直线斜率

:

k=tanα

教材用坡度比抽象提炼出了斜率的定义,学生容易误解斜率公式中角α是锐角,其实α是直线倾斜角,不一定为锐角.为了学生深刻理解定义,设计练习:

已知直线的倾斜角求直线斜率: 倾斜角

斜率k

设计意图: 学生能积极参与课堂小练习,复习常用角的正切值;巩固斜率公式,能求常用角的斜率.发现倾斜角为90°的直线斜率k不存在.同时可以总结30°,45°,60°的锐角斜率为正数,120°,150°的钝角斜率为负数.猜想一般规律: 0°

30°

45°

60°

90°

120°

150°

当0,,k0;当,,k0

22从而引发更深入探究斜率k的性质.

5.

探究斜率k的性质

设计方案:几何画板演示”斜率”的变化规律.

学生作正切函数y=tanα的图像,并研究斜率性质.

通过几何画板演示和分析函数图像，请同学归纳斜率的简单性质: 定义域

:

(0,)(,);

α=斜率k不存在

222

值

域:

kR

单调性：(0,2)时, k>0; 且随着倾斜角增大,斜率也越来越大, (,)

时,k<0;,斜率随着倾斜角的增大而增大. 2设计意图:通过几何画板的实验演示,让学生直观感知斜率随倾斜角变化而变化的一般规律;用熟悉的函数图像性质解读斜率性质,动静结合,实验与理论结合,多角度引导学生理解并掌握斜率性质.

6.

探究斜率与直线上两点的坐标关系

6.1设置问题：斜率从数的角度刻画直线的几何性质,完成了由形到数的一次飞跃.在平面直角

坐标系下,点可以用坐标表示.直线是由无数的点组成;任意两点确定一条直线.思考问题:直线斜率与直线上两点坐标有怎样的关系?

6.2转化问题：已知直线上两点及点的坐标P1 (x1,y1)、

P2(x2,y2)，要求出斜率k=tanα，先要画出图形，通过数形结合来研究斜率与坐标的关系.由于题目条件中没有限定倾斜角的大小,需要讨论角的大小来确定大致图像;条件中也没有交代两点坐标的具体数值,点的相对位置不清,也需要讨论.

6.3设计方案: ①为了培养学生分类讨论,数形结合研究数学问题的综合能力,”分类讨论作图”由学生在教师引导下不断完善补充完成.请一名同学到黑板上画图,以该同学作图为例,引导同学们发现思维漏洞,经历分类讨论的发生和发展过程: 提

问:

倾斜角该画锐角还是钝角? 同学们马上意识到都可能. 提

问:

倾斜角只能是锐角或钝角吗? 同学们会补充还可能是直角和0°角. 教师总结: 两点确定的直线的倾斜角可分为:锐角,钝角,直角和0°角.由于直角斜率不存在,0°角斜率为0,情况比较特殊,先不参与研究.我们研究具有一般性的锐角和钝角. 探

究: 当倾斜角为锐角和钝角时,请同学在图上标识p1, p2 的位置. 有的同学作P1在上,有的同学作P2在上.哪种作图正确? 提

问:

P1 ,P2的相对位置确定吗? 同学们会发现不能确定,需要讨论. 总

结: 以倾斜角为锐角和钝角,以及两点的相对位置为依据,分四类讨论:

②要求斜率k=tanα, 需要构造直角三角形，通过解直角三角形，求出斜率k的值.

这个作图和探究公式的过程让学生自己完成.上图两种情况下得到相同公式:

ky2y1. x2x1③当P1,P2交换位置后,公式仍然成立,证明留学生课后完成.当倾斜角为90°时,分母为0,没有意义,斜率不存在;当角为0°时,斜率为0,公式依然适用. 6.4解读公式:ky2y1y1y2x2x1x1x2x1x2

可以通过任意两点坐标表示斜率

公式意义:代数运算描述几何性质

建立解析几何的数学思想,为学习直线方程,直线位置关系做好铺垫.

6.5课堂练习:

已知点A(1，2) 、B(-1.2)、C(1，3）、D(0，-2) 求直线AB、AC、BC、BD的斜率

6.6知识提升: 例题1：已知直线

l过点P(-2,-1),且与以A(-4,2)，B(1,3)为端点的线段相交于D.

(1)

求直线PA和PB的斜率；

(2)

当点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线PD的斜率的变化范围

解析:

通过几何画板演示,让同学们自己发现,斜率变化范围

三．知识小结:

画出知识导图

一种方法:

坐标法(代数法) 两个定义:

倾斜角和斜率

三种表示:

表示直线倾斜程度1.倾斜角; 2斜率k=tanα；

3.坐标法k四种讨论: 在探究斜率坐标公式时,讨论角和点的位置,分四类讨论

四．作业: 作业本3.1.1直线倾斜角和斜率

y2y1x2x1

五．板书设计:

直线的倾斜角与斜率

描述1: 倾斜角

范围:[0,)

描述2: 斜率k=tanα

(学生练习区域

) 2定义域：[0,)(,)

22值域：

kR

单调性：(0,

(2)时，k单调递增；

k>0 2,)时，k单调递增；k<0 表示法3：坐标法ky2y1

（

x1x2）

x2x1