2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系多媒体教学设计及其点评

《直线与平面》的教学设计

湖北省孝感市孝感高级中学 幸芹

一、教学内容解析 《2.1.1平面》是人教A版《数学》必修二第二章第一节的教学内容，主要内容是平面的描述性概念及三个公理。平面是高中立体几何中最基本的概念，教材重点介绍了平面的基本性质,即三个公理,这是本节课的重点，是研究立体图形的理论基础，也是进一步开展后续众多立体几何演绎推理的出发点和依据，本节课内容在立体几何中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。

本节课的教学重点是通过大量图形的观察、实验和推理，使学生了解平面的概念，并进一步了解立体几何中点、直线、平面之间的位置关系，学会准确地使用三种不同数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题。通过这些内容的教学,使学生初步掌握从具体的直观形象到严格的数学表述形式的过程,使学生的思维从直觉思维逐步上升到分析思维.

二、教学目标设置

根据本节课的教学内容、特点及教材大纲对学生的要求，结合学生现有的知识水平和理解水平,确定本节课的教学目标. 【知识目标】理解和掌握平面的三个基本性质，并能用图形语言和符号语言表示

【能力目标】通过实物模型和多媒体进行直观教学，培养学生的观察能力和空间想象能力.通过应用性质进行一些简单的分析和判断，培养逻辑思维能力。

【情感目标】1.通过学生动手操作实践，增强学习兴趣. 2.结合生活，进行“数学来源于生活”的唯物主义观念的教育. 3.通过问题解决，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。

三、学生学情分析

学生已经掌握了平面内点和直线的概念和性质，可以进行顺应性的建构.但由于学生想象能力、思维能力较弱，一旦涉及到抽象的总结归纳，难免会束手无策.另外，从集合的角度来描述空间中点、线、面的位置关系所用符号与集合中本身符号的用法之间有一定的区别，因此部分学生不能正确应用符号语言.

四、教学策略分析

从本次课学与教的实际出发，由于涉及到的概念比较抽象，学生想象能力和思维能力暂时较弱的特点，公理的理解与掌握需要借助于大量实例，在教学材料上我主要选择了身边的实物，如黑板、三角板、纸板、相架、镜子、板凳等生活用品，遵循学生的认知规律，结合多媒体将具体与抽象、感性与理性、动手与动脑有机地结合地在一起.本节课以既贴近生活又体现数学本质的有效情境作为载体，用层层递进的“问题”串联而成，引导学生进行主动、深入的思考，在教学过程中我主要采用了启发式教学、实验法、演示法、练习法、讲授法等多种教学方法。

（1）本节课平面的概念对学生而言较为抽象，教学时我采用了启发式教学，教学中适

当地联系平面几何知识，采用联想、类比等方法学***面. （2）本节课的公理较多，只有亲身体验才能更好地理解与掌握公理，所以在公理的教学中我主要采用了以下三种方法: 实验法.创设符合数学公理的生活化情境实验，把一定的数学知识同现实生活联系起来，使得学生通过相互协作来完成实验，培养他们的探索、实验操作能力和科学研究兴趣. 演示法.在教学时，把实物或直观教具展示给学生看，或者邀请部分学生作示范性的实验演示，使学生通过实际观察获得生动而直观的感性知识，加深对学习内容的理解，发展学生的观察力、空间想象力和思维能力。

练习法.对于三个公理的综合应用,通过二个例题训练对其加以突破，使学生不仅可以巩固知识，而且能够引导学生把知识应用于实际，发展学生的逻辑推理能力。

另外，对于教师必须重点强调和学生理解有困难的知识，我采用讲授法加以突破。在学生思考与动手操作实验时，我及时了解学生的学习情况，并给予适当的指导和帮助.根据学生的个体差异，本节课安排的小组采用互补的方式，如动手能力强的与实践能力一般的同学一组，语言表达优秀的与不善言谈的同学一组。我在提问时，也依据问题的难易程度来选择不同的学生回答，回答后及时给予学生评价和鼓励，尽量使每一个同学都有热情参与到知识的探究中来。

五、教学过程设计

5.1环节一：了解平面的特点及其表示方法 师1（开场白）：高中数学的学习到现在进入了一个全新的板块“立体几何”，它不同于我们之前一直研究的代数，立体几何需要我们不断地提高自己的空间想象能力。当然，这个不断提高的过程是漫长的，在学习的最初，我们可以从身边去找最直观形象的实物来感受立体几何，比如研究棱柱可以参考粉笔盒，研究平行垂直关系可以参考教室里的吊灯和天花板、黑板等。数学来源于生活，也服务于生活，这就是数学的最大魅力所在！

师2：初中我们研究过平面几何，它有二个最基本元素，是什么呢？

生1：点和线！

师3：高中我们将几何从二维图形升级到三维图形后，立体几何的最基本元素除了点和线，又增加了一个新的主角，大家猜猜它会是什么呢？

生2：平面！

师4：回答非常正确，我们今天要研究的对象就是“平面”。那么提到平面，你脑海中闪现的第一个画面是什么？

生3：桌面！镜子！黑板！天花板！教室门！

师5：一望无际的草原，风平浪静的海面，铺满雪花的操场等都可以让我们联想到“平面”，首先它们都是平整的。

师6：接下来让我们进一步来感受平面的其他特点，生活中的“平面”有大小和厚薄之分吗？而我们立体几何中的“平面”又是怎么的呢？

生4：生活中的“平面”有大小和厚薄的区别，比如桌面。

生5：立体几何中的“平面”没有大小，可以向四周无限延伸，没有厚薄之分。

师7：回答非常正确！类比直线的性质，如没有长短、没有粗细等，我们可以得到立体几何中的“平面”是没有边界，没有厚度。那么，我们用一个什么样的平面图形来表示平面呢？如何体现它的基本特征？

生6：（各抒己见）三角形，梯形，圆，平行四边行等！

师8：只要是封闭的平面图形，都可以表示平面。类比直线的表示方法，只要画出平面的一部分，加以想象，向四周无限扩展即可表示平面。一般情况下，我们用平行四边形表示

平面，锐角画成45，且横长边等于其邻边长的2倍。我们还可以用希腊字母或大写英文字母表示平面，如平面或平面ABCD. 【设计意图】通过身边中的实例引入平面，让学生感受到数学是来源于生活的，不是枯燥无味的；通过类比直线的性质和表示方法来分析平面的相关内容，让学生体会数学方法在学习中的重要性。

5.2环节二：认识空间中点、线、面的位置关系

师9：立体几何的主角“点线面”都到场了，在精彩的大戏上演之前，首先我们先要搞清楚主角们之间的关系，怎样在数学中表示这些关系？

师10：用运动的观点来看待这三个主角，我们会发现：点动成线，线动成面，面动成体。所以直线可以看作是点的集合，平面可以看作是点或者直线的集合。那么我们如何用与集合相关的符号来表示点线面的关系呢？

生7：点属于或者不属于直线，直线包含或者不包含于平面。

（课件用表格演示点线面的各种位置关系，请学生用文字语言和符号语言来描述，注意强调三种数学语言的准确性和规范性）

【设计意图】让学生初步了解空间中点线面的位置关系，学会使用数学中的三种语言，体会数学符号语言的优点，并进一步规范符号语言的使用，为今后推理证明几何问题打下牢固的基础。

5.3环节三：有关三个公理的动手实践和理论探究

1、数学小实验①：固定绳子

师11：请问在墙上固定一根绳子最少需要几个钉子？

生8：最少需要二个钉子. 师12：这个生活现象可以抽象出哪些数学元素和数学结论呢？

生9：钉子，绳子和墙面分别对应几何中的点、线和面. 通过实际操作可以概括出公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 师13：回答非常正确，那么公理1用图形和符号语言如何表示？

生10：（上台板演书写公理1）

2、数学小实验②：笔尖顶纸板

师14：请同学们借助于课桌上的纸板和手中的笔，露出笔尖，同座同学相互协作，完成以下实验：一支笔尖能否支撑起纸板？两支笔尖呢？三支笔尖呢？

生11：（邀请一个小组的学生上台演示并描述结论）一支或者二支笔尖无法支撑起纸板，三支笔尖共线的时候也无法支撑起纸板，只有当三支笔尖不共线的时候才可以撑起纸板。

师15：回答的非常好！那么这个生活现象可以抽象出哪些数学元素和数学结论呢？

生12：笔尖和纸板对应几何中的点和平面。

过一个点或者二个点，无法确定唯一平面，可以作出无数个平面。过三个点，当三点共线时无法确定唯一平面，可以作出无数个平面；当三点不共线时可以确定唯一平面。

由此可概括公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

师16：回答非常详细，那么公理2用图形和符号语言如何表示？

生13：（上台板演书写公理2）

师17：公理2还可以解释我们生活中的哪些现象呢？

生14：自行车靠站架固定不动，单反相机的三脚架，二个合页和一把锁固定一扇门等。

3、数学小实验③：折纸实验

师18：除了不共线的三个点可以确定平面，立体几何中还有什么基本元素组合在一起

也可以确定平面？

生15：（各抒己见）一条直线和直线外一点，二条相交直线，二条平行直线等。

师19：请同学们利用桌子上的白纸，探寻一下怎样折叠才能使其平稳的站立在桌面上，并能检验我们刚刚猜测的三个结论？

生16：（邀请一个小组的三个学生在讲台上演示三种折纸的情形）

师20：在这个实验的验证之下，我们可给出公理2的三个推论：

1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

2.经过两条相交直线，有且只有一个平面；

3.经过两条平行直线，有且只有一个平面. 4、数学小实验④：寻找纸板与桌面的交点

师21：把纸板的一个角立在课桌面上，纸板与桌面有一个公共点，那么同学们请思考：纸板所在的平面与桌面所在的平面是否只相交于一点？为什么？

生17：二个平面不仅仅是相交于一点，而是无数个点，这些点都在一条直线上。

师22：回答的非常好！那么这个生活现象可以抽象出哪些数学元素和数学结论呢？

生18：纸板和桌面对应几何中二个不同的平面。由此可以概括出公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

师23：公理3用图形和符号语言如何表示？

生19：（上台板演书写公理3）

【设计意图】笔者创设了四个生活化的情境，让学生在熟悉的情境中亲自动手操作、观察、归纳，由实际情境最终抽象出完全数学化的三个公理及其推论，培养学生的观察能力、作图能力和数学语言的表达能力，这一个环节着力于发展学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等数学核心素养。

5.4环节四：典型例题巩固

例1：（巩固数学符号语言的使用）

如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．

例2：（巩固点线面位置关系的综合应用）

在空间四边形ABCD的AB,BC,CD,DA上分别取四点E,F,G,H，如果EF，GH交于点M，那么点M（ ） A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上

C. 可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D. 既不在直线AC上，也不在直线BD上

解答：本题答案为A，本题也可以让学生利用手中的白纸通过动手实践从而比较直观的找到答案。用白纸折叠出二个相交平面，使得其交线为AC，三角形ABC和三角形ADC分别在二个平面内，则点M必在交线AC上. a B A l a l P b 

【设计意图】通过典型例题，巩固所学的新知识，加深对符号语言的理解，学会用三个公理去分析和判断其他的几何问题，着力于发展学生的逻辑推理的数学核心素养。

5.5环节五：课堂小结

师24：开心的时候的时间总是过得飞快，我们今天的数学实验课就要结束了，最后请同学们回顾一下，这节课大家都学到了什么？

生20：平面的特征，表示方法和三个公理. 生21：学会了如何使用数学的三种语言，学会了怎么样更加直观的研究数学问题。

师25（结束语）：数学来源于生活，也服务于生活。学好了数学，面对众多问题的时候，我们可以做出更好的决策，打造属于我们自己的个性化的美好生活。在2018年的春天，我们邂逅了立体几何，希望这个缘分可以一直延续下去！

【设计意图】归纳与总结是非常好的一种学习方法，可以在学习中达到事半功倍的效果，引导学生逐步学会使用归纳和总结，不断提高学习的效率。

六、课后反思

众所周知，立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的一门学科，直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等是其基本的研究方法.立体几何的教学，要使学生通过探索来认识空间几何体的结构特征和基本图形(点、直线、平面)位置关系的判定、性质，并使学生在获得立体几何知识的同时，实现几何直观、空间想象力和逻辑推理能力的全面发展，提升直观抽象、数学抽象、数学推理等数学核心素养. 立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体是非常好的方法。如在本节课的“环节一”中笔者通过大量身边的实例来帮助学生认识平面的基本特点，“环节三”中的大量实验也是取材自生活化的问题情境，让学生感受到数学是来源于生活的，学习数学也是为了将来让数学更好的服务于我们的生活. 在本节课的学习中，学生的学习方式发生了很大的改变，由被动地“接受式学习”变为积极主动地“参与式学习”，通过实践操作活动，亲自体验数学知识.如在本节课的“环节三”中学生探究三个公理及其推论的过程中，笔者在教学时创设了四个生活化的情境，充分为学生创设操作和实践的机会，将抽象的数学知识变成学生“看得见、摸得着、易于理解”的数学事实. 数学教育家傅种孙先生曾言:“几何之务不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然。”这里，“知何由以知其所以然”就是要求我们把“如何思考”、“如何研究”等作为几何教学的核心目标，实际上这就是在培养学生的数学核心素养。笔者在作出上述教学设计后进行了教学实践，实践表明：只要给学生足够的时间，放手让学生去独立探究，学生的创造力就能体现出来。通过实践，笔者坚信这样的教学才是落实发展学生数学核心素养的正道。