2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系优秀教案

2.1.1 平面

呼玛高中

吴桐

【教学目标】

1．知道平面是不加定义的概念(原始概念)，初步体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面；

2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；

3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．

【教学重点】

用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系

【教学难点】

用文字语言、符号语言、图形语言描述三个公理

【教学过程】

一、导入新课

多种多样的空间几何体也是由一些基本的图形：点、线、面组成. 认识空间图形就要研究它们的位置

关系！观察海面，它呈现出怎样的现象？观察活动室里的地面，给你一种怎样的感觉？

我们今天就来学习: 2.1.1 平面

二.新知探究与解题研究（认真阅读教材，完成下列各题）

(一)问题导学

探究1.平面的概念

几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是

的．

探究2.平面的画法

①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①. 0

②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.

探究3.点、线、面之间的位置关系

直线、平面都可以看成点的集合．点P在直线l上，记作Pl；点P在直线l外，记作Pl；点A在平面α内，记作P；点A在平面α外，记作P；直线l在平面β内，记作l；直线l在平面α外，记作l. 探究4.平面的基本性质

公理

内容

如果一条直线上的

公理1

在一个平面内，那么这条直线在此平面内

公理2[来源:学.科.网]

的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α

图形

符号

，

，且

，

⇒l⊂α

如果两个不重合的平面公理3 有一个公共点，那么它们有且只有一条

两点

Al

Bl

A

B

P

P

（二）知识运用与解题研究

题型一

三种语言间的相互转化

例1、根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α. 【分析】正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，实现三种语言间的互译．

，

⇒α∩β＝l，且P∈l

【点评】三种语言的相互转换是一种基本技能，要注意符号语言的意义；由符号语言画相应图形时，要注意实、虚线

变式1

用符号语言表示下列语句，并画出图形. 三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

题型二

共面问题

例2、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．

【证明】

因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α. 由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．

分别延长D1E与DA相交于G，

所以G∈直线D1E，所以G∈平面α. 同理设直线D1F与DC的延长线交于H，则H∈平面α. 又点G，B，H均在平面AC内，

且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，

所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，

所以∠ABG＝45°.同理∠CBH＝45°.

又∠ABC＝90°，所以G，B，H共线于GH，

又GH⊂平面α，所以B∈平面α，

所以D1，E，F，B共面．

【点评】证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，及其推论，常用方法有：

(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；

(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．

变式2.证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.

三、当堂检测

1．如果空间四点A、B、C、D不共面，那么下列判断正确的是(

) A．A、B、C、D四点中必有三点共线

B．A、B、C、D四点中不存在三点共线[来源:Z_xx_k.Com] C．直线AB与CD相交

D．直线AB与CD平行

【答案】B 【解析】A、B、C、D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB与CD既不平行也不相交，否则A、B、C、D共面．

2．下列说法中正确的个数为(

) ①三角形一定是平面图形

②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形

③圆心和圆上两点可确定一个平面

④三条平行线最多可确定三个平面

A．1

C．3

【答案】C

B．2

D．4

3．如图，平面α∩平面β=l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过(

)

A．点A

C．点C，但不过点D

【答案】D 【解析】∵AB⊂γ，D∈AB，∴D∈γ.又D∈l，l⊂β，∴D∈β. ∵C∈β，C∈γ，∴β与γ的交线为CD.故选D.

四、课堂小结

1.平面的概念；

2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；

3.点、直线、平面间基本关系的文字语言,图形语言和符号语言: 五、课后作业

课本第43页习题1、3题

B．点B

D．点C和点D