习题1.2优质课教案推荐

第一节

简单几何体的结构、三视图和直观图

考纲解读

1.以常见的几何体及简单组合体为模型画三视图、辩认三视图；2.辩识三视图所表示的立体模型；3.通过模型转化几何体、三视图、直观图；4.会画某些建筑物的三视图与直观图．

[基础梳理] 1．多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．旋转体的形成

几何体

圆柱

圆锥

圆台

球

3.空间几何体的三视图

(1)三视图的形成与名称：

①形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的；

②名称：三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

(2)三视图的画法：

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂旋转图形

矩形

直角三角形

直角梯形

半圆

旋转轴

任一边所在的直线

任一直角边所在的直线

垂直于底边的腰所在的直线

直径所在的直线

直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．

[三基自测] 1．如图，长方体ABCDA′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几

何体是(

)

A．棱台

C．五棱柱

答案：C 2．某几何体的三视图如图所示，根据三视图可以判断这个几何体为(

) B．四棱柱

D．简单组合体

A．圆锥

C．三棱柱

答案：C 3．利用斜二测画法得到的：

①三角形的直观图一定是三角形；

②正方形的直观图一定是菱形；

③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；

④菱形的直观图一定是菱形．

以上结论正确的个数是________．

答案：1

高考总复习·数学(理)第七章

立体几何授课提示：对应学生用书第110页

考点一

简单几何体的结构特征|易错突破

[例1]

(1)给出下列四个命题：

B．三棱锥

D．三棱台

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是(

) A．0

C．2

(2)给出下列四个命题：

①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；

②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；

③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；

④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．

其中不正确的命题的个数是________个．

[解析]

(1)①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

(2)认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析，故①③都不正确，②中对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明，故也不正确，④平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故④也不正确．

[答案]

(1)B

(2)4 [易错提醒]

1．明确各种空间几何体的概念及相关元素的特征．

2．善于构建、利用几何体模型．

3．通过反例对结构特征进行判断．

[纠错训练] 给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．

B．1 D．3

其中正确命题的序号是(

) A．①②③

C．③

B．②③

D．①②③④

解析：对于①，棱柱的侧面不一定全等，故①错；对于②，截面与底面不一定平行，故②错；对于④，棱台的侧棱延长后相交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，故④错；由面面垂直的判定及性质知③正确，故选C. 答案：C

考点二

简单几何体的直观图|易错突破

[例2]

(1)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为22 cm2，则原平面图形的面积为(

) A．4 cm2

C．8 cm2

B．42 cm2

D．82 cm2

(2)(2018·青岛模拟)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(

)

A．正方形

C．菱形

B．矩形

D．一般的平行四边形

[解析]

(1)依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2. 2(2)在直观图中，O′D′＝＝22，C′D′＝2，

cos 45°恢复平面图形后，OD＝42，CD＝2，

∴OC＝422＋22＝6，

∴OABC为菱形，故选C. [答案]

(1)C

(2)C [易错提醒]

注意原图与直观图的“变”与“不变”

坐标轴的夹角改变(1)“三变”与y轴平行的线段的长度改变减半图形改变

平等性不变(2)“三不变”与x轴平行的线段长度不变相对位置不变

[纠错训练]

如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．

解析：正方形的直观图A′B′C′D′如图：

因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝2. 22

2

考点三

简单几何体的三视图|模型突破

角度1

已知几何体识别三视图

[例3]

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为(

) 答案：

[解析]

过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，

则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.

[答案]

C [模型解法]

对于给定的几何体，识别三视图的关键点

(1)首先想象简单组合体按什么方式组成的．

(1)首先想象简单组合体按什么方式组成的．

(2)确定正视、侧视、俯视的方向．

(3)按规定的视线，找出各个顶点在投影面上的投影．

(4)确定线在投影面上的虚实．

[高考类题] 1．(2013·高考课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(

)

解析：设O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)，C(0,1,1)，将以O、A、B、C为顶点的四面体补成一正方体后，由于OA⊥BC，所以该几何体以zOx平面为投影面的正视图为A. 答案：A 角度2

已知三视图，判断几何体

[例4]

(2018·烟台模拟)

若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 [解析]

观察三视图，可得直观图如图所示．该三棱锥A-BCD的底面BCD是直角三角形，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，侧面ABC，ABD是直角三角形；由CD⊥BC，CD⊥AB，知CD⊥平面ABC，CD⊥AC，侧面ACD也是直角三角形，故选D. [答案]

D [模型解法]

识别三视图应从以下几方面考虑

从线型看类型，由三视图中的线是线段还是曲线，可确定此几何体是简单多面体还是旋转体；

(2)分部分，想整体，判断几何体是简单几何体还是组合体；

(3)对比一些熟悉的三视图模型进行分析，如正方体、圆锥、三棱锥等三视图模型．

[高考类题] 2．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)如图所示，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(

)

A．三棱锥

C．四棱锥

B．三棱柱

D．四棱柱

解析：将三视图还原为几何体如图所示，几何体为三棱柱．

答案：B

授课提示：对应学生用书第112页

1.[考点一、二、三](2014·高考湖北卷)

在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(

)

A．①和②

C．④和③

B．③和①

D．④和②

解析：设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)．

∵B，C，D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，点A(0,0,2)在平面yOz上，又点C的横坐标小于点B和D的横坐标，∴该几何体的正视图为图④. ∵点A，C，D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0)，(1,2,0)，(2,2,0)，点B(2,2,0)在平面xOy上，∴该几何体的俯视图为图②.故选D. 答案：D 2.[考点一、二、三](2015·高考全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

) 1A.

81C.

61B.

71D.

5解析：如图，由已知条件可知，在正方体ABCDA1B1C1D1中，截去三棱锥AA1B1D1后剩余的部分即为题中三视图对应的几何体，设该正方体的棱长为a，则截去部分的体积为13151a，剩余部分的体积为a3－a3＝a3.它们的体积之比为.故选D. 6665

答案：D 3.[考点一、二、三](2013·高考山东卷)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(

) A．45，8

8C．4(5＋1)，

38B．45，

3D．8,8 解析：由题意知该四棱锥为正四棱锥，其底面边长为2，正四棱锥的高为2，故侧面三118角形的高为5.所以该四棱锥的侧面积为4××2×5＝45，体积为×22×2＝，故答案233为B. 答案：B