第四章 圆与方程（通用）教案设计范例

4.2.2

圆与圆的位置关系

4.2.3

直线与圆的方程的应用

1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点) 2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)

[基础·初探] 教材整理1

圆与圆位置关系的判定

阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．

1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：

位置关系

图示

d与r1、r2

的关系

外离

外切

相交

内切

内含

d＞r1＋r2

d＝r1＋r2

|r1－r2|

d＝|r1－r2|

0≤d＜

|r1－r2|

＜d＜r1＋r2

2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．

Δ>0⇒相交圆C1方程消元――→一元二次方程Δ＝0⇒内切或外切

圆C2方程Δ<0⇒外离或内含

两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是(

) A．外离

C．内切

B．相交

D．外切

【解析】

两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4. 所以两圆的圆心距d＝42＋－32＝5. 又4－3<5<3＋4，故两圆相交．

【答案】

B 教材整理2

直线与圆的方程的应用

阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．

用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”

一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(

) A．1.4米

C．3.6米

B．3.5米

D．2米

【解析】

建立如图所示的平面直角坐标系．

如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．

【答案】

B

[小组合作型]

当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？

【精彩点拨】

→利用|C1C2|与|r1－r2求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|和r1＋r2的关系求k

【自主解答】

将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，

C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；

圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．

从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5. 当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．

当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．

当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，

即14＜k＜34时，两圆相交．

当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，

即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．

1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：

(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；

(2)计算两圆圆心的距离d；

(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，

必要时可借助于图形，数形结合．

2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．

[再练一题] 1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：

(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．

【解】

圆C1，C2的方程，经配方后可得

C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，

C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，

∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝a－2a2＋1－12＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；

当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．

(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．

(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．

(4)当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含．

求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直25线被圆C3：(x－1)＋(y－1)＝4所截得的弦长．

22作差【精彩点拨】

联立圆C1、C2的方程――→得公共弦所在的直线

―→圆心C3到公共弦的距离d―→圆的半径r―→弦长＝2r2－d2

【自主解答】

设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则A，B的坐标是方程组

22x＋y＝1，22的解，

x＋y－2x－2y＋1＝0

两式相减得x＋y－1＝0. 因为A，B两点的坐标满足

x＋y－1＝0，

所以AB所在直线方程为x＋y－1＝0，

即C1，C2的公共弦所在直线方程为x＋y－1＝0，

圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d＝234，

23所以直线AB被圆C3截得弦长为2×2＝23.

1．圆系方程

一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．

2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程

若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法

(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．

(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．

[再练一题] 2．求两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．

22x＋y－2x＋10y－24＝0，【解】

联立两圆的方程得方程组22两式相减得x＋y＋2x＋2y－8＝0，1251，由条件知r2－d2＝4－2＝2

x－2y＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．

法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组

x－2y＋4＝0，x＝－4，x＝0，22解得或

x＋y＋2x＋2y－8＝0，y＝0y＝2.所以|AB|＝－4－02＋0－22＝25，即公共弦长为25. 法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r＝52，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝35. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(35)2＋l2，解得l＝5，故公共弦长2l＝25. [探究共研型] 探究1

设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？

【提示】

从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0|2＋3＋2|72的距离减去圆的半径2，即2－2＝2－2. 1＋－12探究2

已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．

【提示】

如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．

则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－2022＝20(千米)．

20所以B城市处于危险区内的时间为t＝20＝1(小时)．

|1－2×－5＋4|1＋－22

2-1)，

为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．

图4-2-1 【精彩点拨】

建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．

【自主解答】

以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以xy直线BC的方程为8＋8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为－1＝(42－1) km. |0＋0－8|2

解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤

[再练一题] 3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

【解】

以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，

则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，

港口所对应的点的坐标为(0,4)，

轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，

xy则轮船航线所在直线l的方程为7＋4＝1，

即4x＋7y－28＝0. 圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|28＝，而半径r＝3，∴22654＋7d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．

1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(

) A．外离

C．外切

B．相交

D．内切

【解析】

圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1＜|O1O2|＝5＜r1＋r2＝3，即两圆相交．

【答案】

B 2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为(

) A．x＋y－1＝0 C．x－2y＋1＝0 B．2x－y＋1＝0 D．x－y＋1＝0 y－0＝2－0【解析】

所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由x－1，得x＋y－1＝0. －1－1【答案】

A 3．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.

【解析】

C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，

由题意得|C1C2|＝5，

即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5. 【答案】

2或－5 4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________．

【解析】

过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0. 【答案】

x＋3y＝0 5．求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．

22x＋y＋6x－4＝0，【解】

法一：解方程组22

x＋y＋6y－28＝0，

得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．

设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则有a＋12＋a－4－32

＝a＋62＋a－4＋22，

711，－解得a＝2，故圆心为2，

2半径为172＋12＋－2－32＝892. 1789故圆的方程为x－22＋y＋22＝2，即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二：∵圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，

33λ－，－其圆心为1＋λ，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7. 1＋λ故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.

版权所有：高考资源网(www.ks5u.com)