探究与发现 为什么截口曲线是椭圆课件配套优秀

12．4 椭圆

一、教学目标设计

掌握椭圆的对称性，顶点，范围等几何性质.能根据椭圆的几何性质对椭圆方程进行讨论，在此基础上会画椭圆的图形．学会判断直线与椭圆的位置，能够解决直线与椭圆相交时的弦长问题，中点问题等.在对椭圆几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化，学会分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；培养探究新事物的欲望，获得成功的体验，树立学好数学的信心. 二、教学重点及难点

重点：椭圆的几何性质及初步运用

难点：直线与椭圆相交时的弦长问题和中点问题

三、教学流程设计

椭圆的标准方程

椭圆的几何性质

椭圆的对称性

椭圆的顶点

椭圆的范围

四、教学过程设计

运用与深化(例题解析、巩固练习)

一、引入课题

直线与椭圆的位置关系

“曲线与方程”是解析几何中最重要最基本的内容其中有两类基本问题：一是由曲线求方程，二是由方程画曲线．前面由椭圆定义推导出课堂小结并布置作业

椭圆的标准方程属于第一类问题，本节课将研究第二类问题，由椭圆方程画椭圆图形，为使列表描点更准确，避免盲目性，有必要先对椭圆的范围、对称性、顶点进行讨论. 二、讲授新课

（一）

对称性

问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性？

x代x后方程不变，说明椭圆关于y轴对称；

y代y后方程不变，说明椭圆曲线关于x轴对称；

x、y代x，y后方程不变，说明椭圆曲线关于原点对称；

问题2：从对称性的本质上入手，如何探究曲线的对称性？

以把x换成－x为例，如图在曲线的方程中，把x换成－x方程不变，相当于点P

（x，y）在曲线上，点P点关于y轴的对称点Q（－x，y）也在曲线上，所以曲线关于y轴对称．其它同理. 相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. （二）

顶点

问题1：观察椭圆标准方程的特点，利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标？

在椭圆的标准方程中，令x0，得yb，y0，得xa

顶点概念：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点. 顶点坐标；A1(a,0),A2(a,0)，B1(0,b),B2(0,b). 相关概念：线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴2a,2b，它们的长分别等于

a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 在椭圆的定义中，2c表示焦距，这样，椭圆方程中的a,b，c就有了明显的几何意义. 问题2：在椭圆标准方程的推导过程中令a2c2b2能使方程简单整齐，其几何意义是什么？

c表示半焦距，b表示短半轴长，因此，联结顶点B2和焦点F2，可以构造一个直角三角形，在直角三角形内，OF2a22B2F22OB22，即. （三）

范围

问题1：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围？即确定两个变量的允许值范围．

c2b2xa22yb221变形为：yb221xa220，x2a2xaaxa

这就得到了椭圆在标准方程下x的范围：axa

同理，我们也可以得到y的范围：byb

问题2：思考是否还有其他方法？

方法一：可以把性来考虑xa,ybxa22yb221看成sin2cos12，利用三角函数的有界的范围；

xa22方法二：椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1，那么这两个数都不大于1，所以1，同理可以得到y的范围

a由椭圆方程中x,y的范围得到椭圆位于直线x里. 和yb所围成的矩形

三、例题解析

例1

已知椭圆的方程为9x4y36. （1）

求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标; （2）

写出与椭圆9x4y36有相同焦点的至少两个不同椭圆方程. 解：解答见书本P48 [说明] 这是本节课重点安排的基础性例题，是椭圆的几何性质的简单应用. 例2（1）求以原点为中心，一个焦点为(0,1),且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程; （2）过点（2，0），且长轴长是短轴长的2倍的椭圆方程. 解：（1）由题意可知：c1,a2b，由abc，有2bb1，b1，a2; 222222222椭圆的标准方程为：xx222y2211. （2）4y21或y216x4. [说明] 此题利用椭圆标准方程中a,b,c的关系来解题，要注意焦点在x轴上或y轴上的椭圆标准方程. 例3已知直线kxy30与椭圆x216y241，当k在何范围取值时，

（1）

直线与椭圆有两个公共点；

（2）

直线与椭圆有一个公共点；

（3）

直线与椭圆无公共点. ykx322解：由可得(4kyx141621)x224kx200 16(16k25)；

与椭圆（1）当x216(16k25)0即k54或k54时，直线kxy3016y241有两个公共点；

16(16k2（2）当x25)0即k54或k54时，直线kxy30与椭圆y21有一个公共点；

545416416(16k2（3）当x25)0即k时，直线kxy30与椭圆16y241无公共点. [说明] 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接说明两曲线

的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0（2）直线与椭圆相切0（3）直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，运用方程及其判别式是最基本的方法. 例4若直线y值范围. 解法一：

由ykx122yx15m2kx1(kR)与椭圆x25y2m1恒有公共点，求实数m的取可得(5k2m)x210kx55m0，m5k210即

m1且m5. 解法二：直线恒过一定点(0,1)

当m5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b交点则m1即1m5

当m5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a交点即m5

综述：m1且m5

解法三：直线恒过一定点(0,1)

m5k11m，要使直线与椭圆恒有可保证直线与椭圆恒有5要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1)在椭圆内部m1

02512m1即

[说明]法一转化为k的恒成立问题；法二是根据两曲线的特征观察所至；法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点M(x,y)在椭圆内部或在m1且m5oo椭圆上则xoa22yob221.

四、巩固练习

练习12.4（1）;练习12.4（2）

五、课堂小结

1．椭圆的几何性质

标准方程

图形

xa22yb221（a＞b＞0）

ya22xb221（a＞b＞0）

y

y

M

F1

O

F2

x

F2

O

F1

M

x

范围

－a≤x≤a，－b≤y≤b

－b≤x≤b，－a≤y≤a

对称关于x轴、y轴和原点对称

性

（a，0）、（－a，0）、（0，a）、（0，－a）、性顶点

（0，b）、（0，－b）

（b，0）、（－b，0）

质

焦点

F1（－c，0）、F2（c，0）

F1（0，－c）、F2（0，c）

两轴

长轴长2a，短轴长2b

焦距

|F1F2|＝2c，c2＝a2－b2

2．直线与椭圆位置关系如何判断

3．弦长问题和弦中点问题

4．有关弦中点问题，“点差法”的应用

六、课后作业

练习册相关习题

补充作业：

1．椭圆axby1与直线y1x交于A、B两点，过原点与线段AB中点22的直线的斜率为2.椭圆x232，求

值. F1、F2，过O作直线交椭圆于A、B45y2201的焦点为两点，若ABF的面积为220，求直线AB方程.