3.4 生活中的优化问题举例课堂实录【3】

§3.4生活中的优化问题举例(第1课时)

[自学目标]: 1.要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式yf(x)，根据实际问题确定函数yf(x)的定义域；

2.要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答. [重点]:

求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值应予舍去

[来源:学科网ZXXK][难点]:

在实际问题中，有f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值

[教材助读]: 1、生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常

称为

2、用导数解决优化问题的实质是

3、导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1)与几何有关的最值问题；

2)与物理学有关的最值问题；

3)与利润及其成本有关的最值问题；

4)效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

[预习自测] 1453stt2t2，那1．一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为43么速度为零的时刻是 ( )

A．t=1 B．t=0 C．t=4 D．t=0,1,4

2、把60cm的铁丝围成矩形，当长为 cm,宽为 cm时，矩形面积最大。

请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决。

[合作探究

展示点评] 探究一：海报版面尺寸的设计

例1、学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图2所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值.

【思考】在课本例1中，“x16是函数Sx的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？

结论：在实际问题中，由于f'x=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小

）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。

探究二：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

例2、

某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.8r2分，

其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利

0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

分析：先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.

[当堂检测] 1、以长为20的线段AB为直径作圆，则它的内接矩形的面积的最大值为（[来源:学科网ZXXK]

A、15 B、25 C、50 D、200

）