2.1.4 平面与平面之间的位置关系多媒体教学设计及其点评

2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4

平面与平面之间的位置关系

学习目标：1.了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(重点、易错点)2.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．(难点) [自

主

预

习·探

新

知] 1．直线与平面的位置关系

位置

关系

公共点

符号表示

图形表示

直线a在

平面α内

无数个公共点

a⊂α

直线a在平面α外

直线a与平

面α相交

一个公共点

a∩α＝A 直线a与平

面α平行

没有公共点

a∥α

2．两个平面的位置关系

位置关系

公共点

符号表示

两平面平行

没有公共点

α∥β

两平面相交

有无数个公共点(在一条直线上) α∩β＝l

图形表示

[基础自测] 1．思考辨析

(1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( ) (2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行. ( )

(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线

平行. ( ) (4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( ) (1)×

平行或异面．

(2)×

也可能相交．

(3)√

(4)×

也可能相交．

2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( ) A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交

D．[∵a∥平面α，∴a与平面α无交点，故选D.] 3．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( ) A．过P，Q的平面一定与α，β都相交

B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行

C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行

D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行

C．

[当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C.]

[合

作

探

究·攻

重

难]

直线与平面的位置关系

下列命题中，正确命题的个数是

( ) ①如果a，b是两条平行直线，那么a平行于经过b的任何一个平面；

②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；

③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；

④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；

⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.

A．0

B．1

C．2

D．3 C．

[如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，AA′∥

BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即④正确；⑤显然正确，故答案为C.]

直线与平面位置关系的判断

(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．

(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．

(3)可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．

在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．

[跟踪训练] 1．下列说法中，正确的个数是( ) ①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；

②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行；

③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．

A．0 B．1 C．2 D．3 C．

[易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．选C.]

平面与平面的位置关系

[探究问题] 1．如何从有无公共点的角度理解两平面位置关系？

如果两个平面有一个公共点，那么由公理3可知：这两个平面相交于过这个

点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个平面相互平行．

2．若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有什么位置关系？

因为一个平面内任意一条直线都与另一个平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根据两平面平行的定义知，这两个平面平行．

3．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？

不正确．如图，设α∩β＝l，则在平面α内与l平行的直线可以有无数条a1，a2，…，an，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，an与平面β都平行，但此时α不平行于β，而α∩β＝l.

以下四个命题中，正确的命题有( ) ①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；

③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧面且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；

④平面α内两条相交直线和平面β内两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行. A．③④

C．②④

B．②③④

D．①④

依据平面与平面平行的定义判断，亦可借助长方体进行判断．

[当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以①②错误．]

1．平面与平面的位置关系的判断方法

(1)平面与平面相交的判断，主要是以公理3为依据找出一个交点．

(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．

2．常见的平面和平面平行的模型

(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行．

(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．

[跟踪训练]

2．两平面α、β平行，a⊂α，下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；

②a与β内无数条直线平行；

③直线a与β内任何一条直线都不垂直；

④a与β无公共点．

其中正确命题的个数有( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条平行，有一些是异面；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直；④根据定义a与β无公共点，正确．故选B.] [当

堂

达

标·固

双

基] 1．已知直线a在平面α外，则( ) A．a∥α

B．直线a与平面α至少有一个公共点

C．a∩α＝A

D．直线a与平面α至多有一个公共点

[直线a在平面α外，则直线a与平面α平行或相交，故直线a与平面α至多有一个公共点．选D.] 2．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是 ( ) A．0

B．1 C．2

D．3

[如图所示，在长方体ABCDA′B′C′D中，AB∥CD，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；

A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，

但A′B′与B′C′相交，故②错误；

AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；

A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．] 3．下列命题：

①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；

②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β. 其中错误命题的序号为________．

[①中两个平面也可能相交；②α与β可能平行也可能相交．] 4．如图2130，在正方体ABCDA1B1C1D1中判断下列位置关系：

图2130 (1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是________．

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．

[(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点，所以平行．

(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．]