信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆ppt配套的教学设计及说课稿

用《几何画板》探究点的轨迹：圆

【学习内容】

人教A版必修2

第四章《圆与方程》

信息技术应用——用几何画板探究点的轨迹：圆

【学习目标】

1、借助《几何画板》探究有关圆的轨迹问题，从新的视角审视轨迹问题的本质；认识圆的几何属性在探究过程中的完美运用。

2、会用《几何画板》的一些基本功能，提升信息技术的实践能力；培养学生利用计算机软件来探究、展示或拓展数学知识

3、开阔视野，增强数学学科的文化素养，激发创新潜能，提升“数学”品味。

【学习过程】

一、自主温习

（y1y2）。

1、平面直角坐标系中任意两个点A（x1,x1),B（x2,x2)的距离AB

（x1x2）22特殊地：P（x,y)与原点的距离OPx2y2

2、什么叫圆？圆作为平面几何中基本图形，确定它的要素是什么呢？

（1）圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹。

（2）确定圆的最基本的要素是

圆心

（定位置）和

半径

（定大小）。

3、圆的标准方程

2圆心是C(a,b),半径是r(r>0)的圆的标准方程是

（xa）(yb)2r2

。

4、圆的一般方程

（1）圆的一般方程为是

x2y2DxEyF0

圆心

(DE,)

2

2

和半径

1D2E24F

2

（2）圆的一般方程的特点。

①

平方项系数相等，即A=C=1

；

②

无交叉项，即B=0

；

③

DE4F0

。

二元二次方程的完整形式为：Ax2BxyCy2DxEyF0

二、实例演练

课本第139页“用《几何画板》探究点的轨迹：圆”一文中，有一个例题值得我们探索和研究。

已知点P(2,0),Q(8,0)点M与点P的距离是它与点Q的距离的迹，并给出轨迹方程。

几何画板探究：

１

221，用《几何画板》探究点M的轨5

探究结论：点M的轨迹是圆

严格证明：设点M的坐标为，则

（x,y）MQ(x8)2(y0)2

MP(x2)2(y0)2

MP(x2)2y211



即222MQ525(x8)yMQMP整理得：

22M（x,y）1P（2，0）112Q（8，0）4681012E7225

（x）y24162（，0）所以，点M的轨迹是以为圆心，745为半径的圆。

4345三、提出猜想命题：

猜想命题：动点M到定点P、Q的距离之比等于常数k(k>0)，则动点M的轨迹是圆。

MMPMQ=kPQ

四、《几何画板》探究猜想命题

探究发现的规律：

1、轨迹好像是圆；

2、随着k值得变化，轨迹也随之改变；

3、当k接近1时，轨迹似乎不是圆，其余时候都是圆。

五、证明猜想命题

猜想命题：设PQ2a，动点M到定点P、Q的距离之比等于常数k(k>0)，点M的轨迹为圆，求点的轨迹方程。

证明：以点PQ的中点为原点，PQ所在直线x轴，建立直角坐标系。则P(-a,0)、Q(a,0)

设点M（x,y）是轨迹上的任意一点，

则MPMQk

２

即（xa)2y2(xa)y22k

2（xa）y2也就是k2

22(xa)y化简得

2222222(1k)x(1k)y2a(1k)x(1k)a

即

2a(1k2)222xyxa0

20

(1k)k212aka,0)为圆心，2∴当k≠1时，此曲线是以点C(2为半径的圆。

k1k1从证明过程中，我们发现，为了使“猜想命题”更加严谨、规范，应该对常数k增加约束条件：k1。

六、完善猜想命题

当k1时，情况会如何呢？

此时，

MPMQ，即动点M到定点P与Q的距离相等，其轨迹应该是线段PQ的垂直平分线。

七、探究结论：

设PQ2a，动点M到定点P、Q的距离之比等于常数k(k>0)。则

当k= 1时，动点M的轨迹是一条直线（线段PQ的垂直平分线）；

当k≠1时，动点M的轨迹是圆.

MP = 5.61厘米MQ = 5.61厘米MP = 1.00MQPMMMPMQ=k

QPQ

15202530510

此圆称为：阿波罗尼斯圆

八、知识拓展

1.到两定点的距离之商为定值的点的轨迹是阿波罗尼斯圆

2.到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆

3.到两定点的距离之差为定值的点的轨迹是双曲线

4.到两定点的距离之积为定值的点的轨迹是卡西尼卵形线

３

阿波罗尼斯圆

椭圆

双曲线

卡西尼卵形线

阿波罗尼斯

古希腊数学家。与欧几里得、阿基米德齐名。《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平，自此以后，希腊几何便没有实质性的进步。最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家。

九、结论应用：

例：(08江苏)满足条件AB2,AC2BC的ABC面积的最大值是___________. 解析：此题表面上看是解三角形，常规思路可以边长（或角）为自变量建立函数关系式，转化为函数最值问题来处理，但都比较繁琐. 如果换个思路，将三角问题解析化则会有意想不到的效果. 法一：以A、B所在直线为x轴，以线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则A(1,0),B(1,0)，由性质1，c1,2，点C的轨迹是圆心为(3,0)，半径r22的圆，ABC底边

４

AB上高h的最大值即为上述圆的半径r22hmax，所以

1(SABC)max22222

2

0），法二：以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A（1，

22）y22（x1）y2，

B（1，0），设C（x，y），由AC2BC得（x12平方化简整理得y2x26x1（x3）88，∴y22，则

SABC12y22，∴SABC的最大值是22

2

十、小结

数学知识：阿波罗尼斯圆

数学方法：数形结合，探究猜想，解析法证明

数学文化与应用：探究解决有关最值定值的问题

数学是除了语言和音乐之外，人类心灵自由创造力的主要表达方式之一，而且数学是经由理论的建构成为了解宇宙万物的媒介。因此，数学必需保持为知识，技能与文化的主要构成要素，而知识与技能是得传授给下一代，文化则要传承给下一代的。——HermannWeyl

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