第四章 圆与方程（通用）优秀教学设计

圆的方程教学设计

一、考纲要求

1．掌握圆的标准方程和一般方程，理解方程中字母的实际意义；

2．能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程。注重数形结合。

3．会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用。

二、知识梳理

回顾要求

1．

阅读教材第107页~110页,了解以点C(a,b)为圆心，为半径的圆标准方程是什么，若该圆的圆心恰为坐标原点，则这个圆的方程又是什么。

2．

方程xyDxEyF0表示圆的充要条件是什么，其中圆心半径分别是什么

标准方程和一般方程怎么转化

3．

对于书中第107页，能否看出推导标准方程的步骤。

4．

对于教材的例3，掌握用一般方程的办法求圆的方程，思考能否还有其他方法。

要点解析

1、

以点C(a,b)为圆心，为半径的圆标准方程(xa)(yb)r，的圆心恰为坐标22222原点，则这个圆的方程xyr

2、

二元二次方程xyDxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，圆心22222(DE1,)，半径D2E24F

2223、

先建立平面直角坐标系，设点，列出关系式再化简得出。

4、圆的标准方程通过展开整理就得到圆的一般方程，圆的一般方程通过配方整理就会得到圆的标准方程。

【教学建议】只需要学生领悟到圆的一般方程与标准方程间的关系就行了。

三、诊断练习

1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。

2、诊断练习点评

题1、若方程xy4mx2y5m0表示圆，则实数m的取值范围为 ；若方程ax(a2)y2axa0表示圆，则实数a的值为 。

【分析与点评】

（1）强调二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是22222D2E24F0；

（2）弄清：为什么二元二次方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是

D2E24F0?加深对方程与曲线的关系的理解。

（3）方程a2x2(a2)y22axa0如何转化成方程x2y2DxEyF0？

答案：

m1或m1；-1。

4题2、已知A,B两点的坐标分别为(0,4),(4,6)，则以AB为直径的圆的标准方程为 ．

【分析与点评】试题分析：以AB为直径的圆的圆心为AB中点，即(2,5)，又AB(40)2(64)225，所以圆的半径为r5，则圆的标准方程为(x2)2(y5)25

答案：(x2)(y5)5 4、

题3．方程x11y2表示的曲线是 【分析与点评】重点探讨思路的选择：

（1）化简这个式子首先做什么，平方。平方前需要注意x的范围

（2）化简后的式子为(x221)2y21，表示圆，但加上x的范围只能是圆的一部分。

22题4．点P1,1在圆xaya4的内部，那么实数的取值范围是 。

Ziyuanku.com【分析与点评】强调判断点与圆的位置关系的依据：d与的大小关系。将位置关系的判断（定性）转化为大小的比较（定量）。

【备用】：（1）过点P1,1可以向圆xaya4引两条切线，求实数的取值范围；

22（2）已知实数x,y满足xy4x0，求3、要点归纳

（1）强化对圆的方程形式特征的理解；

（2）强调求圆的方程的方法的选择；

22y的取值范围。

x

（3）要重视圆的几何性质的应用。

四、范例导析

来&源：ziyuanku.com例1、分别求满足下列条件的圆的方程。

（1）已知圆过两点A3,1,B1,3，且它的圆心在直线3xy20上；

WWW.ziyuanku.com（2）经过三点A1,1,B1,4,C4,2；

（3）已知圆C：x2y24x12y390，直线l:3x4y50，求圆C关于直线l对称的圆的方程。

【教学处理】可让学生板演，结合板演提问学生，再交流讨论，然后教师点评；通过点评或板书总结求圆的方程的一般方法。

【引导分析与精讲建议】

1、第（1）题可以引导学生从以下几个角度思考：

（1）设一般方程，将A,B坐标代入xyDxEyF0，再将圆心坐标22DE,代入直线方程，求D,E,F；

22 （2）设圆心Ca,3a1，利用几何性质CACB，建立方程求；

（3）交轨法找圆心：求线段AB的中垂线与直线3xy20的交点，得圆心。

……总之，设方程，设圆心，找圆心是求圆的方程的常用方法。

2、第（2）题分析时，提出以下问题：

问题1：本题宜选择什么形式的方程求解？（强调方程形式的选择，已知三点，宜选择一般方程。）

问题2：画个图看看，还可以怎么做？引导学生发现圆心在直线y3上，可以设圆心为23（强调画图意识，要善于捕捉题中a,，列方程求；也可以通过交轨法找圆心。2隐含的几何信息。）

3、第（3）题分析时，提出以下问题

问题1：如何将曲线关于直线的对称问题转化为点关于直线的对称问题。

问题2：圆关于直线的对称的曲线仍然是圆，只有圆心位置发生了改变，圆的大小并没有发生改变。

解决方案：（3）圆C的圆心C（-2，6），半径为1；设圆D和圆C关于直线l对称，D(a,b)，

b6a2345022则有：，解得：a4,b2，则所求的方程为：b643a2(x4)2(y2)21 【说明】:教师要有意识地引导学生挖掘图形的几何信息，培养简化运算的意识。

例2 已知动点M到点(8,0)的距离等于M到点(2,0)的距离的倍. （1）求动点M的轨迹C的方程；

（2）若直线ykx5与轨迹C没有交点，求k的取值范围；

【教学处理】要求学生独立思考并解题，指名学生板演，老师巡视指导了解学情；再结合板演情况进行点评。

【引导分析与精讲建议】

资源%库ziyuanu.com试题分析：注意把握求轨迹方程的四步曲，建系、设点、列式、化简，本题建系就省了，注意求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标为(x,y)，根据题意，列出等量关系式，化简即可，对于第二问，注意考查的是圆与直线的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径比较大小即可判断。

解：（1）设M(x,y)，则(x8)2y22(x2)2y2， 整理得xy16，即动点M的轨迹C的方程为xy16. 2222x2y21622（2）由，消去并化简得(1k)x10kx90 ykx5因为直线ykx5与轨迹C没有交点，所以100k36(1k)0 即16k290，解得

【变式】：已知圆与轴交于A0,,2,B0,4两点，APB是该圆的内接三角形，2233k

44APB60，求圆的方程。

【点评】：这里变式中给出的角是圆周角，可以转化为圆心角，仍然可转化为半径、半弦、弦心距之间的关系，只是更具一般性。

例3 已知点x,y在圆x2y31上。

22 （1）求xy的最大值和最小值；

（2）求2资源%库y的最大值和最小值。

x2 (3)求xy的范围

【教学处理】指导学生从最值问题的常规方法角度独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程。

【引导分析与精讲建议】

第（1）小题可以提出以下问题：

问题1：二元表达式的最值问题可以尝试消元，转化为函数问题，本题可以实施吗？

问题2：二元表达式的最值问题还可以转化为线性规划问题，本题如何实施？

问题3：问题化归：设xyt，与圆的方程联立方程组，利用方程组有解的条件，建立不等关系，求最值。

问题4：

能不能从几何意义的角度思考：xy具有什么几何意义？第（2）小题应该以第（1）小题的探究为基础，对方法的选择进行探讨，可以尝试提出以下问题：

（1）若尝试第（1）问的方法（1），建立函数，如何求解？

（2）模仿第（1）问的方法（3），构建不等关系如何实施？

WWW.ziyuanku.com（3）从表达式yy的几何意义，从图形入手，怎么求的取值范围？

xx22资源%库【变式】：已知实数x,y满足xy4x6y120．

22

求：（1）xy4x6y的取值范围； （2）xy3的取值范围．

【点评】：二元函数的值域的主要解法是消元转化为一元函数的值域问题，但为了简化运算，也要适时从数形结合的角度思考，充分挖掘表达式的几何意义。

五、当堂反馈

1、直线xy30平分圆xy2ax2ay10的周长，则a__________。

【分析与点评】直线平分圆的周长，即直线xy30过圆心(a,a)，解得a22223。

22、已知点P(2,1)在圆C:xyax2yb0上，点关于直线xy10的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为____________，半径为____________. 【分析与点评】点关于直线xy10的对称点也在圆C上，说明直线xy10过圆

心(a,1)，解得a0，且点P(2,1)在圆上，代入解得b3，所以圆心坐标为(0,1)，半2径为。

3．若方程x2y22ax4ay6a2a0表示圆心在第四象限的圆，则实数的范围为 . 【分析与点评】试题分析：由方程xy2ax4ay6aa0可得222a0，解得(xa)2(y2a)2aa2，因为圆心(a,2a)在第四象限，则有2aa00a1. 答案：0a1 4、已知圆C:x(y4)4,点A(2,0),B(2,0) ,点P(x,y)是C上任意一点，则22PA2PB2的值域为____________. 【分析与点评】由平行四边形性质知PA2PB21AB2(2OP)282OP2作图可见222OP的最大值是6，最小值是2，所以PAPB的值域为16,80. 六、解题反思

1、待定系数法是求圆的方程的主要方法，求圆的方程关键是建立方程，求基本量a，b，r或D，E，F。

2、要注意选择适当的方程形式，探究合理的运算路径。

3、在解题过程中一定要有“图”的意识，要充分挖掘图形的几何性质，帮助简化运算。

4、以圆为背景的二元函数的值域问题，要充分考虑圆在解题中的桥梁作用，要研究目标函数的几何意义，化归为斜率或距离。