复习参考题优质课教案内容

简单多面体的外接球与内切球问题

临澧一中

向艳芳

几何体与球有关的组合问题，一种是外接，一种是内切。纵观近几年高考题，这种特殊的位置关系在高考中既是考查的热点也是考查的难点，这是因为与球有关的几何体能很好的考查学生的空间想象能力以及化归能力。下面就常见几何体内切球与外接球问题进行分析。

一 .公式法（包括补形法）

1.正方体的内切球与外接球

设正方体棱长为a

结论1：正方体的内切球半径r

结论2：正方体的外接球半径R

2.长方体的外接球

结论3：设长方体棱长为a,b,c，此长方体的外接球半径R

结论4：对棱两两相等的三棱锥，对棱长分别为x,y,z，此三棱锥外接球半径R

结论5：可构造成对应长方体求解：

3.正四面体的内切球与外接球

设正四面体棱长为a

结论6：正四面体的斜高

，正四面体的高h

结论7：正四面体的内切球半径r

结论8：正四面体的外接球半径R

例1：甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( ) A. 1:2:3 B.

. 变式题：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）

A.

16

B.20

C.

24

D.

32

1:2:3

C. 1:34:39 D.1:8:27

例2：(2013·昆明模拟)一个几何体的三视图如图所示，

它们都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体

的外接球的体积等于( ) A.

变式题：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ______ 例3：四面体SABC的三组对棱相等，依次为25，13，5，则四面体的外接球的表面积为

变式题：在三棱锥A-BCD中，ABCD6，ACBDADBC5，则三棱锥的外接球的表面积为________

二．寻求轴截面

23 B.

C. D.2

22h21.

圆柱外接球模型--- Rr

42（1）圆柱---------r,h自带

（2）直棱柱--------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高

（3）一根侧棱底面的锥体---------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱

h:垂直于那个侧（4）一个侧面矩形底面的四棱锥---------r:垂直底面的侧面外接圆半径；面的底边长

例1.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(

) 2A.

a

B.a

C.

732112a

D.

5a2

3

变式1.“BAC60”换成“BAC120”

变式2.“三棱柱”换成“六棱柱”

00

例2.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球上，SA平面ABC，SA23，AB1，AC2，BAC600，则球O的表面积为（

）

A.4

B.12

C.

16

D.

64

变式题：等腰直角ABC中，A=90，BC2，D为BC的中点，将三角形沿AD翻折，使二面角BADC为60，则三棱锥ADBC的外接球的表面积

00r2h22.

圆锥外接球模型--- R

2h（1）圆锥---------r,h自带

（2）正棱锥--------r:底面外接圆半径；h:正棱锥的高

（3）“底面为直角三角形+上顶点在底面投影为斜边中点”的三棱锥---------r:底面斜边长的1；h:三棱锥的高

2例3.正四棱锥SABCD的底面边长1，侧棱长2，点S、A、B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为 .

变式题.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（

）

A.

168 B. C.43 D.23

33

三．确定圆心位置

例4.在矩形ABCD中，AB4,BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）

125125125125 B. C. D.

A.12963

变式.“直二面角”换成“二面角”

小结反思：