3.1.3 导数的几何意义课堂实录

3.1.3导数的几何意义

教学三维目标：

1.知识与技能：了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2.过程与方法：理解曲线的切线的概念；

3.情态与价值：通过函数的图像直观地理解导数的几何意义并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点：导数的几何意义．

教学方法：讨论法

教学工具：多媒体

教学课时：1课时

教学过程：

创设情景

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？

新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当Pn(xn,f(xn)(n1,2,3,4)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

沿着曲线f(x)图3.1-2 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

- 1 -

容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无xnx0f(x0x)f(x0)f(x0)

x0x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

限趋近于切线PT的斜率k，即klim ②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义：

函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，

f(x0x)f(x0)k

x0x说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标; f(x0x)f(x0)k

，得到曲线在点②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limx0x即

f(x0)lim(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程. （二）导函数：

由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0)

是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作：f(x)或y，

f(xx)f(x)

x0x注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

即: f(x)ylim（三）函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数 3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

典例分析

例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.

- 2 -

（2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数. [(1x)21](121)2xx2lim2, 解：（1）y|x1limx0x0xx所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0

3x23123(x212)limlim3(x1)6

（2）因为y|x1limx1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30

（2）求函数f(x)=x2x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． y(1x)2(1x)23x

解：xxy(1x)2(1x)2lim(3x)3

f(1)limx0xx0x例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h(x)4.9x26.5x10，根据图像，请描述、较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）

当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

比画（2）

当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减．

（3）

当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．

- 3 -

例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度cf(t)(单位：mg/mL)随时间t（单位：min）变化的图象．根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线f(t)在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：k0.480.911.4

1.00.7所以 f(0.8)1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t

0.2 药物浓度瞬时变化率f'(t)

课堂练习：

1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；

2．求曲线yx在点(4,2)处的切线．

回顾总结：

1．曲线的切线及切线的斜率；

2．导数的几何意义

布置作业：

课本P79 A组2、3 板书设计：

主板 副板

1、

曲线的切线

2、

切线的斜率 举例

3、

导数的几何意义 0.4 0.4 0 0.6 0.8 -0.7 -1.4

- 4 -