习题2.3教案和学案内容

《二面角的求法》教学设计

西北师大附中 李晓霞

一、教学目标：

知识与技能：（1）掌握求解二面角大小的方法，并能初步运用它们解决问题。

（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的能力。 能力与方法：(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。

（2）培养学生转化的思想，把空间的角转化为平面的角来解决.。 情感与态度：

通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

二、教学重点

二面角的几种常见求法. 三、教学难点

寻找二面角的平面角的方法的发现过程. 四、教学过程

求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，我们面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”，就是我们研究的中心话题。

1、回顾旧知

二面角及二面角平面角的定义：

从一条直线出发的两个半平面所构成的图形称为二面角。

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（如图所示）

提出问题：怎样求解二面角的平面角？（引出课题）

2、讲授新课：二面角的常见求法

（1）定义法——直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，两条射线所成的角就是二面角的平面角.

练习：如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为: B A.∠ABP B.∠ACP C.都不是 例题：

在正方体AC1中，求二面角D1ACD的正切值。

解析：取棱AC的中点O，连结DO,D1O，则角DOD1就是所求二面角的平面角。

在正方体中易求得二面角的正切值是2. （本题用定义法找出二面角的平面角，找出棱上特殊的一点是解决问题的关键）

进一步提出问题：本题还有其它解法吗？

另解:因为DD1面ABCD，所以过点D作AC的垂线于O，连结OD1，

根据三垂线定理，ACOD1，

所以角DOD1就是所求二面角的平面角。（由此引出平面角的第二种解法：三垂线法）

（2）三垂线法——利用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角，通过解直角三角形求角的大小.

例题：如图，三棱锥PABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面直角三角形ABC斜边AC的中点

O，若PBAB1,BC2，

求二面角PABC

的正切值。

解析：根据题意：PO面ABC，所以过O

作OEAB

，连结PE，根据三垂线定理，角PEO就是所求二面角的平面角。在直角三角形POE中，易求得二面角的正切值是2. 2（本题也可以看做是构造了一个平面PEO，与棱AB垂直，且平面PEO分别与两个半平面的交线是EP和EO，二面角的平面角恰好是这两条交线所成角，由此引出第三种方法，垂面法）

（3）垂面法——通过做二面角的棱的垂面垂面与两个半平面的两条交线所成的角即为二面角的平面角.

例题：三角形ABC中，AB⊥BC，SA ⊥平面ABC，DE垂直平分SC，又SA＝AB＝ａ，

SB＝BC,

（1）求证：SC ⊥平面BDE, （2）求二面角E－BD－C的大小. 解：（1）因为SB＝BC，E为SC的中点，所以BESC，又DESC因此SC平面BDE（2）由SC平面BDE，得BDSC又由SA平面ABC，得BDSA则BD平面SAC因此CDE为二面角E－BD－C的平面角由ABBC，AB＝a，BC=2a，得AC＝3aSAa3==AC33a则SCA=300，则CDE=900－SCA＝600在RtSAC中，tanSCA=

课后思考：能用定义法和三垂线法求解本题吗？（让同学们课后利用思考进一步巩固本节课所学内容）

五、课堂小结

1. 求二面角的平面角，定义法是“众法之源”；

2. 注意“作、证、求”三环节，计算一般是放在三角形中； 3.要重视化归思想在立体几何中的应用.

六、作业：优化设计第37业2.3.2节. 七、课后反思

1、积极探索新的课堂教学方式

数学的习题课一般比新授课难上，面对枯燥的课堂，学生对所学的知识提不起兴趣，毫无生机和活力，讲过多遍的问题学生仍可能没有印象，更谈不上能力的提高和数学素养的形成，根本不能适应新课程标准的要求，适当地、经常地改变课堂形式，如上述课例一样，给学生提供动口、动脑的机会，鼓励学生大胆地发表见解，让学生在在学习的过程中始终保持积极的态度和热情. 2、教师重新认识自己的地位和作用

传统的课堂教学，教师占主导地位，上课满堂灌，在新课程背景下，教师必须重新认识自己的地位和作用，如上述课例中，教师只是学习材料的提供者、课堂的组织者、学生行为的评价者，这对教师的要求更高了，教师要恰如其分的控制好课堂气氛与进度，还要关注知识的形成与提高，充分考虑学生的因素，以培养学生的质疑意识作为课堂设计的中心，教学过程尽可能凸现学生的思维，关注学生的思维活动，同时还要增强服务意识，创造适合学生的热爱学习的氛围，解决他们学习中遇到的困难. 3、学习方式的改革与创新

新课程标准强调，数学教学要确立和尊重学生的主体地位，完善学生的学习方式，提倡自主探索、操作体验、合作交流的学习方式.上这堂课学生非常积极，只要老师为他们创造机会，提供舞台，学生一定会发挥主观能动性，从而使学生成为课堂学习的主体。

由于课上时间有限，可以提醒同学们再利用课下的时间对课堂上还有疑惑的地方进行讨论，还可以把例题一题多解，把各种求解方法加以整理，教师对还有疑问的同学可作进一步指导和答疑。