复习参考题优秀说课稿

直线与方程复习课1——直线的方程

杜淑芳

教学目标

知识与技能：

①．复习倾斜角与斜率；

②．复习直线方程的几种特殊形式；

过程与方法：

①经过本节课的学习过程，进一步体会分类讨论思想与；

②经历把几何问题转化为代数问题并加以解决的过程，体会数形结合思想与化归思想. 情感态度与价值观：体会章节知识结构的构造过程，鼓励学生反思归纳。

重点难点：

教学重点：

①直线的倾斜角与斜率；

②直线的方程；

③分类讨论思想与数形结合思想；

教学难点：

①数形结合思想与分类讨论思想；

②直线与方程知识结构的初步构建. 教学过程：

我们知道：学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程，我曾经读过这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破提升。意思是说，每学完一个单元，我们都要梳理总结，复习内化，实现自我的突破提升。这节课我们就来复习刚结束的本章——《直线与方程》。本章共三节课，把直线这一几何图形先通过建立直线的方程代数化，再通过方程研究直线的几何性质与度量。这一节课，我们先复习《直线的方程》。

（一）梳理整合：

提出问题：

请问过一个定点可以作多少条直线？（学生回答完毕后展现PPT上的题目）。

请大家看（开放性）问题1：“已知点A（5，-1），____________，请你加一个条件，确定一条过点A的直线，并求此直线方程”。

学生可能回答的三种方法，可以概括为：

第一种方法是加一个点B，利用两点式写直线方程；

第二种方法是已知斜率，利用点斜式写直线方程；

两种种特殊形式殊途同归，转化为直线方程的一般式Ax+By+C=0 （A,B不同时为0）。

注意：若点B（5，y），则直线方程为：x=5（不能用两点式，斜率不存在）；

若点B（x，-1），则直线方程为：y=-1. 问题2：直线方程有几种形式？每种形式适用于什么情况？解答题与填空题我们应该用哪些形式表示直线？

问题3：求直线有哪些特殊情形应该注意？斜率有几种求法？倾斜角是什

么？倾斜角的范围是什么？

1．

直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为[0°，180°)．

(2)直线的斜率

①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．

②过两点的直线的斜率公式

y2－y1经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. x2－x12．

直线方程的五种形式

名称

点斜式

斜截式

两点式

方程

y－y0＝k(x－x0)

y＝kx＋b y－y1x－x1＝

y2－y1x2－x1xy＋＝1

abAx＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 适用范围

不含垂直于x轴的直线

不含垂直于x轴的直线

不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

平面直角坐标系内的直线都适用

截距式

一般式

3.

过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程

(1)若x1＝x2，且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为x＝x1；

(2)若x1≠x2，且y1＝y2时，直线垂直于y轴，方程为y＝y1；

(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为x＝0；

(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0时，直线即为x轴，方程为y＝0. 4．

线段的中点坐标公式

若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则y＋yy＝21x1＋x2x＝22

，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．

[难点正本

疑点清源] (1)直线的倾斜角与斜率的关系

斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．

(2)①求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．②在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．

题型一

求直线的方程

例1

求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；

1(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－；

4(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5. 思维启迪：选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可．

解

(1)方法一

设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，

2∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0. 3xy若a≠0，则设l的方程为＋＝1，

aa32∵l过点(3,2)，∴＋＝1，

aa∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，

综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. 方法二

由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，

设直线方程为y－2＝k(x－3)，

2令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，

k22由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，

k3∴直线l的方程为

2y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，

3即x＋y－5＝0或2x－3y＝0. (2)设所求直线的斜率为k，依题意

13k＝－×3＝－. 44又直线经过点A(－1，－3)，

3因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，

4

即3x＋4y＋15＝0. (3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1. x＝1解方程组，

2x＋y－6＝0

求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，

即x＝1为所求．

设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为

y＋1＝k(x－1)，

2x＋y－6＝0解方程组，

y＋1＝kx－1

k＋7x＝k＋2得两直线交点为4k－2y＝k＋2

. (k≠－2，否则与已知直线平行)．

则B点坐标为由已知k＋7，4k－2. k＋2k＋2k＋7－12＋4k－2＋12＝52，

k＋2k＋233解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，

44即3x＋4y＋1＝0. 综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0. 探究提高

在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．

跟踪练习1 △ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2，3)，求：

(1)BC所在直线的方程；

(2)BC边上中线AD所在直线的方程；

(3)BC边的垂直平分线DE的方程．

解

(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为x－2，即x＋2y－4＝0. －2－2(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，

y－1＝3－1

2－21＋3则x＝＝0，y＝＝2. 22xyBC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，－32即2x－3y＋6＝0. 1(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的2方程为y－2＝2(x－0)，

即2x－y＋2＝0. 题型二

直线方程的综合应用

例2

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

思维启迪：抓住直线过定点这个特征，找直线不经过第四象限的条件，表示△AOB的面积，然后求最值．

(1)证明

直线l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，

x＋2＝0x＝－2令，解得，

1－y＝0y＝1

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．

(2)解

由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2k，在y轴上的截距为1＋2k，k1＋2k－≤－2k要使直线不经过第四象限，则必须有，

1＋2k≥1解之得k>0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0. 1＋2k(3)解

由l的方程，得A－，0，B(0,1＋2k)．

k1＋2k－<0，k依题意得

1＋2k>0，解得k>0. 111＋2k∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k| 22k

2111＋2k1＝·＝4k＋k＋4

2k21≥×(2×2＋4)＝4，

211“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，

k2∴Smin＝4，此时l的方程为：x－2y＋4＝0. 探究提高

利用直线方程解决问题，要灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．

题型三

直线的倾斜角与斜率

例3

(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 1A.

3

(

) 1B．－

32D.

33C．－

2 （2）

直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点．则直线l的倾斜角的取值范围为____________．

思维启迪：斜率公式和倾斜角的定义是解决这类问题的基础，范围可结合图形考虑．

ππ0，∪，π解析

(1)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，

答案

(1)B

(2)

42a＋7＝2则有，解得a＝－5，b＝－3，

b＋1＝－2

－3－11从而可知直线l的斜率为＝－. 37＋5m2－1（2）直线l的斜率k＝＝1－m2≤1. 1－2若l的倾斜角为α，则tan α≤1. ππ0，∪，π. 又∵α∈[0，π)，∴α∈42探究提高

直线倾斜角的范围是[0，π)，由图象知，这个区间不是正切函数的单调区间，ππ0，与，π两种情况讨论．由正切函数图象因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分22πππ，π时，0，时，可以看出当α∈斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈222斜率k∈(－∞，0)．

跟踪练习2 已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，求实数m的取值范围．

解

如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，

3当m≠0时，kQA＝，kPA＝－2，

21kl＝－. m113∴－≤－2或－≥，

mm212解得0

23当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点，

21所以，实数m的取值范围为－≤m≤. 32

方法与技巧

y2－y11．

要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k＝，该公式x2－x1与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°. 2．

求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．

3．

求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．

失误与防范

1．

求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

2．

根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．

3．

利用一般式方程Ax＋By＋C＝0求它的方向向量为(－B，A)不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．