2.3.1 双曲线及其标准方程优质课一等奖

2.3.1 双曲线及其标准方程

一、教学内容解析

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。人教A版选修2-1第三章圆锥曲线中第二节内容为双曲线，是在学生系统学习了椭圆标准方程和简单几何性质相关知识的基础上进行的。学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。所以教学时采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后知识应用。“双曲线及其标准方程”一节内容主要是双曲线的概念的产生和双曲线标准方程(有二种形式)的推导，这是继椭圆之后的又一重要内容，它有着广泛的应用，能使学生进一步感受坐标法及数形结合的思想，为后面用代数方法研究双曲线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础。

二、

教学目标 根据教学大纲和考试说明，结合数学情境的创设，确定本节课的目标是：

⑴知识目标：掌握双曲线的定义，会建立并掌握双曲线的标准方程。

⑵能力目标：掌握双曲线的定义及其标准方程，掌握双曲线的焦点、方程与焦点坐标的关系，培养学生数形结合、分类讨论、类比的思想。

⑶情感目标：经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学的对称美和简单美。通过主动探索，感受探索的乐趣，体会数学的理性和严谨。经历双曲线定义的获得过程，养成实事求是的科学态度，形成学习数学知识的积极态度。

三、学生学情分析

我选了一个普通文科班来上这节课。但本班学生的学习态度非常端正、表现在课堂听课、作业、课后练习和课后的活动等都表现的比较出色。学习过程比较踏实但不够扎实，治学来不的半点马虎，要一丝不苟脚踏实地持之以恒的进行。我们缺的是恒心和主动。学生成绩一般，毕竟是普通班。方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。知识储备上，学生已经系统的学习了椭圆方程及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。

四、

教学策略分析

1、教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用.

- 1 -

2、教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解. 3、授课类型：新授课 4、课时安排：1课时 5.教学方法： 引导探索、发现法

6.学习方法： 自主探索、合作交流

7. 教学手段： 多媒体辅助教学

8. 教具：

几何画板

小白板

绳子

吸管

胶带

五、教学过程：

（一）、复习旧知

引入新课

1.复习：我们知道，与两定点的和为常数2a（a>0且2a大于两定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，椭圆上的点满足|MF1||MF2|2a和2a2c

引导一：若将上式改为MF1MF22a(a>0)，动点M的轨迹是怎样的曲线呢？

2.动手操作：让学生拿出课前准备好的一根对折好的绳子，套上一截塑料管，胶带，白纸。介绍作图方法：在绳子的两段上各选择一点，分别固定在纸板上的点F1 ，F2处，取塑料管处为M点，由于绳子两段是等长的，则MF1MF2FF2，设FF22a，把笔尖放在点M处，随着塑料管的推开或闭拢在白纸上作图。(如图1)。并由此提出思考：若动点M满足：MF2MF12a(a>0)，应该怎样作图呢？

让同桌两人一组，相互磋商、动手绘图，教师巡视，对有困难的小组予以帮助。然后选出一位学生代表叙述他们的画图过程，并展示画图结果。对完成较好的小组予以表扬，让学生充分体会到数学探索的乐趣和成功的喜悦。 [设计意图]

双曲线的定义为本节课的教学重点之一，为了突出重点，开展探究活动，让学生动手操作，亲身经历双曲线的形成过程．

3.用几何画板画出|

MF1||MF2|2a和|MF2||MF1|2a的轨迹

- 2 -

图1

图2

几何画板演示作图过程，指出这一条曲线(图1)就是满足：

集合P｛M

MF2a，a0

｝的动点M的轨迹。若将上述集合改为11MF2＝

，比较两集合的关系，取FFP2｛M

MF2MF1＝2a，a0

｝12a，同理可画出此时动点M的轨迹(图2)。

[设计意图]几何画板演示不仅增强动感，而且帮助学生克服在实际操作中的困难，体现数学的严谨性。观察、比较，归纳：

上面两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支。

其中右边一支满足：MF1MF2

，左边一支满足：MF1MF2

（二）、抽象概括 归纳定义

鼓励学生根据上述三点结论大胆归纳出双曲线的定义

1.定义：平面内与两个定点F1、F2的差的绝对值等于常数(小于F1F2

)的点的轨迹叫做双曲线。

并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 [设计意图]按学生的认识规律与心理特征引导学生自己探索、分析，启发学生认识新的概念，这有利于学生对概念的全面理解，同时培养了学生从量变到质变的辨证思维。

并实现对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。 引导二：（1）在白纸上作图说明了什么？

（2）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足什么条件？

（3）常数2a与F1F2有什么关系？

分析：||MF1||MF2||2a

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注意：差的绝对值包括|MF1||MF2|2a和|MF2||MF1|2a

教师引导学生观察、分析，并归纳. 2.结论：

（1）平面内（2）动点M与两个定点F1 ，

F2的差的绝对值等于常数。

（3）02aF1F2

引导三：如果改变常数2a的范围（2a=F1F2，2a=0， 2a＞F1F2），动点

的轨迹会发生什么变化呢？

[解决方法]教师让学生相互讨论

，鼓励学生大胆阐述自己的结论. 3.归纳出： (1) MF1MF22a＝F1F2

线段F1 F2的延长线上以F2为端点的一条射线 MF2MF12a＝F1F2 段F2F1的延长线上以F1为端点的一条射线

(2) 2a0 线

段F1 F2的中垂线

(3) 2aF1F2 (违背了三角形三边长的关系) 不存在 [设计意图]通过教师的设问，启发学生思考，让学生在自主探索，合作交流中归纳概括出结论，培养学生发现问题，研究问题，解决问题的能力。上述结论是对满足集合PM

MF1－MF2

＝2

a的动点M

的轨迹的全面说明。

（三）类比探究 建立方程

引导四：怎样建立双曲线的标准方程呢？ [解决方法]

先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭

圆标准方程的推导过程，在教师的启发下，由学生自主推导双曲线的标准方程。

[设计意图] 通过学生对旧知识的回顾来了解学生对知识的掌握程度，同时让学

生明确思维的目的，为下一步教学搭桥铺路．

第一步 建系：建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且

点O与线段F1F2的中点重合。

（在回顾椭圆标准方程推导时如何建立坐标系后，

建立起双曲线标准方程推导时的坐标系。）

第二步 设点：

设M(x,y)是双曲线上任意一点，双曲线的

图3

- 4 - 

焦距为2c(c0)，那么，焦点F1、F2的坐标分别是

(c,0)、(c,0)。又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2 a。

第三步 现式：根据定义写出M点的轨迹构成的点集：

P = { M | |MF1 | — |MF2 | =± 2 a } 第四步 代入：用坐标法表示条件P（M），列出方f(x，y)=0，

2222即：(xc)y(xc)y2a ①

第五步 化简：化方程f(x，y)=0为最简形式。

将方程①化简，得

(c2a2)x2a2y22(c2a2) ②

22222由双曲线的定义可知，2c2a，即ca，所以ca0。令cab，其中b0，22xy22代入上式，得b2x2a2y2a2b2两边除以ab，得出：

221(a0,b0)

ab对此方程要强调：它是双曲线的焦点在x轴上的标准方程，焦点是：F1 (c,0)、F2 (c,0)，焦距2c。

注

意：区别双曲线和椭圆的标准方程中a,b,c的关系：222

双曲线：cab（a0,b0，a与b没有确定的大小关系）

椭 圆：ca－b（ab0）

[设计意图]类比双曲线和椭圆标准方程中的a,b,c的关系，有助于学生克服椭圆学习中的思维定势。

引导五：焦点在y轴上，并且点O与线段F1F2的中点重合，a,b,c的意义同上，双曲线的方程又如何呢

？ 222

图4

[解决方法]先让学生作出图4，引导学生观察、比较图3与图4，并根据椭圆的

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焦点在y轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的

x、y2x2y互换，即：221(a0,b0)

ab[设计意图]该问的设置，一方面是为了得出焦点在

y

轴上的双曲线的标准方程；另一方面培养学生的类比能力，充分发挥学生的直觉思维和数学悟性。

调动了学生学习的主动性和积极性， 引导六：观察上述两个不同的标准方程，思考：（1）双曲线的标准方程有何特点? （2）x2,y2项的符号与该双曲线的焦点所在位置有什么关系？

由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：

双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上(正项定焦轴)。

[设计意图]观察、比较，发现问题;概括、归纳，解决问题，不仅加强了学生对所学知识的进一步理解，而且培养了学生自主探究和鉴别的能力。为检验学生对上述结论的掌握情况布置课堂练x2y2习：练一练1：判断焦点位置，求a,b,c

11169(四) 实践探索 形成能力

1 例题剖析，初步应用 x2y221169已知双曲线两焦点的坐标为F1(5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。

2 自我反馈，评价提高 思考：若P满足(1)、PF1PF26呢？ (2)PF1PF210呢？分别说出P点的轨迹并写出其轨迹方程。

（五）知识整理 纳入系统 1、 知识点：(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念。(2)双曲线标准方程两类形式，如何由方程判定其焦点所在坐标轴。(3)

a,b的确定依据。(4)与双曲线定义和标准方程有关的三个常数a,b,c

间的关系cab

2、 数学思想：

数形结合、等价转化。 3、 数学方法：

观察、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法。

（六）作业布置 配套练习

222

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