阅读与思考 笛卡儿与解析几何优质课教案设计

笛卡尔与解析几何

教学目标：

数学是一门基础学科,我们从小就开始学习数学,但是在很多人的眼里,数学是那么抽象、深奥,以至显得有些呆板生硬冰冷。很多学生不喜欢。然而在数学冰冷的面孔背后,有着丰富多彩的故事,本节课,带领大家进入这个缤纷的世界,去认识以为接触的数学家,感受他们刻苦专研、不畏艰辛的科学精神,去探究数学概念、理论诞生的源头,追寻它们发展的轨迹;见证学科发展中的重要事件,感悟科学的真谛。

了解数学辉煌的历史，领略数学用途广泛的巨大威力，体会数学独特的魅力，加深对数学思想的理解，体会数学对人类文明发展的重要作用，从而对数学有更为全面而深刻的认识。

学情分析：

高一学生刚学完解析几何初步的知识，学会了在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，能用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，体会数形结合的思想，初步形成了用代数的方法解决几何问题的能力。但是对解析几何的创立和发展缺乏了解，对解析几何的重要性认识不够，学生们缺少对数学的热爱和本质上的理解。

重点难点：

解析几何通过坐标系，把几何中的点与代数的基本研究对象数（有序数对）对应，然后建立图形（曲线）与方程的对应，从而把几何与代数紧密结合起来，用代数方法解决几何问题，是数学的重大进步。从此代数和几何相互吸取新鲜的活力，得到迅速发展。

教学设计：

一、问题引入：

问题1、20世纪70年代以后，我国著名数学家吴文俊在几何定理机器证明上做出了重大贡献，并创立的“吴方法”。

“Z+Z智能教育平台”软件实现了这一方法，用计算机证明几何定理。计算机通过什么途径来证明几何定理的呢？

问题2，在必修二第一、二章中我们主要是依据几何图形中点、直线、平面的关系研究几何图形的性质。通过第三章《直线与方程》的学习，我们又学习了另一种研究方法：坐标法，即以坐标系为桥梁，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。解析几何的创立是数学发展史上一个重要的里程碑，你知道解析几何的创始人是谁吗？他或他们是怎样想到引入坐标方法的？

这一切要归功于一个人，这个人就是法国科学家笛卡尔（Descartes ,1596-1650）

笛卡尔在1637年发现了直角坐标系，把几何中的点M用代数中的一数对（x,y）表示出了，打通了几何与代数的联系，这样一来，就可以通过对方程（代数）的研究来研究曲线（图形），从而创立了一门科学——解析几何（平面解析几何、空间解析几何）

吴文俊机器证明的思想，主要是从笛卡尔的坐标法和中国古代解方程的计算方法而来，他认为，欧式几何体系的特点是纯粹在空间形式间推理，或说在图形之间，或者是把数量关系归之于空间形式，或者干脆排除掉数量关系。他说：“对于几何，对于研究空间形式，你要真正腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法。”

二、解析几何研究问题的特点——坐标法

直角坐标系，这是研究问题的前提。

坐标法解决问题大致有三个步骤：

1、把一个几何问题翻译为相应的代数问题，即先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、曲线；

2、用代数的方法解决这个问题（代数运算）；

3、解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论。

因此解析几何研究的主要问题是：

1）已知曲线求方程；

2）通过方程研究曲线的性质。

运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数的方法解决，而且还把变量、函数以及“数”和“形”密切联系起来，数学进入了一个新的发展时期——变量数学的时期。解析几何的产生对数学发展，特别是对微积分的出现起了促进作用，是数学中的转折点。

恩格斯对笛卡尔的这一发现给予高度评价，恩格斯说“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了……”

三、解析几何的应用

解析几何在生产或生活中有广泛的应用。比如圆拱桥的设计；几何问题的证明；再比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭球面；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜琵都是利用抛物线的原理制成的。

四、典例（体会解析法在解题中的作用）

1、已知AO是ABC边BC的中线，求证：ABAC2(AOOC)

2222

（变式：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。）

2、已知内接与圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半。

分析：选择互相垂直的两条对角线所在的直线为坐标轴。求出圆心的坐标。

3、已知0x1,0y1,求证：

x2(1y)2(1x)2y2(1x)2(1y)222

材料阅读，见证学科发展中的重要事件,感悟科学的真谛。

阅读材料1：时代的产物，

西方数学，自古希腊以来长期是几何学占据统治地位，使得几何学几乎成为数学的同义词。这种趋势直到17世纪上半叶才开始有所改变，这一时期，代数学逐渐成熟起来，科学发展也迫使几何学寻求更为有效的思考工具以及更能量化的科学方法。在这样的推动下，解析几何诞生了。

17世纪，欧洲各国发展迅速，航海、天文、力学、军事、生产等科学技术的发展，向数学提出了一系列亟待解决的问题：如何进一步掌握行星运动规律，确定地球的经纬度，准确计算炮弹运动轨迹等等，都迫使人们寻求解决变量问题的新方法，这成为解析几何产生的外部条件。

同时，数学本身也具备了建立解析几何的内部条件，第一个条件是初等数学日臻成熟。初等几何，远在古希腊时期就基本成熟，其中欧几里得的《原本》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》代表了那一时期数学的最高成就。第二个条件是数学观和数学方法论的重大改变。经过文艺复兴之后，欧洲人继承和发展了希腊数学观，认为数学是研究自然的有力工具。这种新的数学观为数学的方法论开辟了一条广阔的途径。

解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑，它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期，正如恩格斯在《自然辩证法》一书中指出的：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了。”穆勒说过“解析几何使笛卡尔的名字载入史册，远胜于他的任何一项哲学泛论，解析几何是精密科学进步中所曾迈出的最伟大的一步。”解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。其中，法国数学家笛卡尔和费马堪称解析几何的鼻祖。

阅读材料2、勇于探索的数学家

在近代史上，法国数学家笛卡尔（R.Descartes,1596—1650）以资产阶级早期哲学家闻名于世，被誉为第一流的物理学家，近代生物学的奠基人和近代数学的开创者。1637年，笛卡尔发表了重要著作《方法论》，其附录的《几何学》使他成为解析几何的创立者之一。

笛卡尔出生于法国一个古老的贵族家庭，他妈妈在她出生几天后就去世了，父亲竭尽全力照顾他这个“小哲学家”——他总想知道阳光普照下的世界万物的来历，以及保姆讲述的有关天相的所有奥秘。

笛卡尔8岁时进入耶稣会学校，校长注意到他似乎比其他孩子需要更多的休息，所以特许他每天早上高兴躺倒什么时候都行，据说他因此养成了清晨卧床静思的习惯，并且几乎终生不变。每当打算思考问题时，总是在床上度过他的早晨。他曾断言：在那些长长的安静的早晨所进行的沉思乃是产生他的哲学和数学的真正源泉。

传说，笛卡尔在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻两个墙壁距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他头脑中产生了关于解析几何的最初闪念。

和数学史上任何重大成果一样，笛卡尔的解析几何并非天才人物的突发奇想或空穴来风，都是艰苦探索、潜心思考的结果。从1619年开始，笛卡尔开始用大部分的时间来思考他在数学中的新想法：是否可以用代数中的计算过程来代替几何中的证明呢？要这样就必须找到一座能连接几何与代数的桥梁，是几何图形数值化，从而能用数值的方法去解决。

1637年笛卡尔出版了《方法论》一书，该书主要是哲学著作，但包括3个著名的附录：《折光》、《气象》和《几何学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。笛卡尔在《几何学》中建立了历史上第一个倾斜坐标系，稍后又给出了直角坐标系。提出了今天解析几何的基本思想：在平面上引进所谓的“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序数对（x，y）之间建立一一对应关系。以这种方式可以将一个代数方程f（x，y）=0与平面上的一条曲线对应起来，于是几何问题便归结为代数问题，并反过来通过对代数问题的研究可以发现新的几何结果。首次提出点的坐标和变数的概念，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。

阅读材料3、伟大的科学家笛卡尔

笛卡尔是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是第一流的物理学家，他只偶然的是个数学家。

笛卡尔与1596年3月31日出生在法国都兰的拉哈耶。他父亲是一名律师。他8岁上学，20岁大学毕业。后来在巴黎做律师。这时，他曾与他人在一起研究过一年的数学。1617你那他又进入军队去当了9年兵，但是一直研究数学。他曾在荷兰的一个地方解决过一个张贴的数学题，这使他自信有数学才能，从而开始认真的用心于数学。他回到巴黎，为望远镜的威力所感染，闭门钻研光学仪器的理论与创造。1628年他移居荷兰，在那里住了20年，他写出了第一部著作的作品《思想的指导原则》，1649年被邀请去做了女皇的教师。1650年因患肺炎逝世。

1637年，他出版了《方法论》。这是一本文学和哲学的经典著作，其中有三个附录。

第一个附录《几何学》，还有两个是《折光学》和《流星学》。这个“几何学”

实际上指的是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。《几何学》部分包括了他关于坐标集合和代数的思想。这是十分伟大的思想。

这是笛卡尔所写的唯一的数学书。

笛卡尔的科学思想支配着17世纪，他的教导和著作因为表达得清楚动人，甚至在非科学家中间也很流行，只有教会排斥他。实际上，笛卡尔是虔诚的，他相信他证明了上帝的存在，但是他教导说，圣经不是科学的知识。

笛卡尔是通过三条途径来研究数学的：作为哲学家，作为自然科学研究者，作为一个关心科学用途的人。

阅读材料4、业余数学大师

解析几何学的另外一位开山祖师是被人称为“业余数学大师”的费马（P.de Fermat,1601_1665）。费马出身于一个法国商人家庭，他本人已律师为职业。他不仅博览群书、见多识广，而且精通多种语言，他把大部分业余时间都用来钻研古典数学著作并进行大量数学研究。虽然数学只不过是他的业余爱好，而且他在30岁之后才开始从事数学研究，但他在17世纪数学史上做出来非常突出的成就。

在解析几何上，费马是一位名副其实的创立者。

费马关于解析几何的主要著作是《平面和立体轨迹引论》（谢雨1629年，1679年出版，比笛卡尔1637年出版的《几何学》还早）。这是历史上关于解析几何的最早著作。在这一著作中，已经有了解析几何的两个基本概念：坐标概念以及通过坐标把代数方程同曲线相联系的概念。费马在“坐标”的基础上，把希腊时期已得到的曲线都表示成了代数方程。反过来，费马说：“只要在最后的方程里出现了两个未知量，我们就得到一个轨迹，这两个量之一的末端就绘出一条直线或曲线”。

费马主要着眼于继承希腊人的思想，他认为自己只是重新表达了阿波罗尼奥斯的工作；笛卡尔则从批判希腊的传统出发，认为自己在改变古代的方法。费马解析的定义了许多新曲线；笛卡尔提出了几种有运动生成的新曲线。在很大程度上，费马从方程出发，然后来研究轨迹；笛卡尔则从轨迹出发，然后求它的方程。这正是解析几何的基本原则的两个方面。因此，虽然他们之间发生过谁先发现解析几何的争论，但是历史公正的评价是：他们分别用不同的方法，各自独立的，差不多同时创立了解析几何，他们应该共享创建解析几何的荣誉。

不仅如此，费马还是概率论的创始人之一。17世纪的数论几乎是费马的世界。他更因提出了困扰人类300多年的费马大定理而闻名于世。

到19世纪后，解析几何已经发展得相当完备，但这并不意味着解析几何的活力已经结束。事实上，作为一个有效的数学工具，它不仅广泛的应用于物理学和其他工程技术领域，而且常常渗透到各个数学分支，在一个庞大的纵横交错的数学丛林中发挥着积极的作用。

课堂讨论思考：

1、解析几何产生的背景？

2、你如何理解解析几何的重要性在于它的方法？

3、解析几何产生的重要标志是什么？

4、解析几何对数学科学及自然科学发展的作用。

课后阅读（网上搜索）：

费马大定理（将一个高于二次的幂分为两个同次幂，这是不可能的。现代语言叙述：当整数n2时，方程xnynzn

不存在正整数解）