2.2.4 平面与平面平行的性质课件配套优秀获奖教案

平面与平面平行的性质

教学目的：使学生掌握平面与平面平行的性质，并会应用性质解决问题。让学生知道直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系可以相互转化。

教学重点：平面与平面平行的性质定理及其应用。

教学难点：平面和平面平行的性质定理的证明和应用。

教学过程：

一、复习提问、引入新课

复习：如何判断平面和平面平行?

思考:如果两个平面平行，会有哪些结论呢?-----引入新课:平面与平面平行的性质.

二、探究新知

探究1. 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？ 探究2.如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？

探究3:当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？为什么？

两条交线平行.下面我们来证明这个结论.

如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b

证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b

∴aÌα，bÌβ

∵α∥β

∴a，b没有公共点，

又因为a，b同在平面γ内，

所以，a∥b

指出:这个结论可做定理用

定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

用符号语言表示性质定理：

想一想：这个定理的作用是什么?

三、例题分析,巩固新知

例1

如图，a∥α，a⊂β，α∩β＝b.求证：a∥b. 证明

因为α∩β＝b，所以b⊂α.

又因为a∥α，所以a与b无公共点．

又因为a⊂β，b⊂β，所以a∥b. 反思与感悟

用线面平行的性质定理可以判定两直线是否平行，同时也提供了一种作平行线的方法．

跟踪训练1

如图，平面α、β、γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b.那么，a与c，b与c有什么关系？为什么？

解

a与c，b与c的关系为：

a∥b∥c. 因为γ∩α＝a，β∩γ＝b，α∩β＝c，且a∥b，由b⊂β，a⊄β，得a∥β；

又a⊂α，a⊄β，β∩α＝c，得a∥c，

所以a∥b∥c. 探究点二

线面平行的性质定理的应用

思考1

如果直线a与平面α平行，那么经过平面内一点P且与直线a平行的直线怎样定位？

答

直线a与平面α内一点P确定一个平面，设这个平面与平面α的交线为b，由线面平行性质定理得，a∥b，所以直线b即为所确定的直线．

思考2

教室内的日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？

答

只需由灯管两端向地面引两条平行线，过两条平行线与地面的交点的连线就是与灯管平行的直线．

例2 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.

(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？

(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？

解

(1)如图，在平面A′C′内，过点P作直线EF，使EF∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E，F.连接BE，CF.则EF、BE、CF就是应画的线．

(2)因为棱BC平行于平面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.

由(1)知，EF∥B′C′，所以EF∥BC，

因此⇒EF∥平面AC. BE、CF显然都与平面AC相交．

反思与感悟

平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任意一条直线平行，它只与该平面内

与它共面的直线平行．

跟踪训练2

如图，已知E，F分别是菱形ABCD边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值．

解

如图，连接BD交AC于点O1，连接OM，

因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，

所以PC∥OM，所以＝，

在菱形ABCD中，

因为E，F分别是边BC，CD的中点，

所以＝.又AO1＝CO1，

所以＝＝，

故PM∶MA＝1∶3. 例3

已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面．

已知

如图，直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外．

求证

b∥α.

证明

过a作平面β，使它与平面α相交，交线为c. 因为a∥α，a⊂β，α∩β＝c，所以a∥c，

因为a∥b，所以b∥c，

又因为c⊂α，b⊄α，所以b∥α.

反思与感悟

直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理．

跟踪训练3 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1. 证明

因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，

EH⊄平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，

所以EH∥平面BCC1B1. 又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，

所以EH∥FG，即FG∥A1D1. 又FG⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面ADD1A1，

四、探究与拓展

1.如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 证明

(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD. 又EC⊥BD，EC∩CO＝C，

CO，EC⊂平面EOC，

所以BD⊥平面EOC，

因此BD⊥EO. 又O为BD的中点，

所以BE＝DE. (2)解

如图，

延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°，

所以∠CBD＝30°. 因为△ABD为正三角形，

所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，

因为∠AFB＝30°，

所以AB＝AF. 又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．

连接DM，由于点M是线段AE的中点，

因此DM∥EF. 又DM⊄平面BEC，EF⊂平面BEC，

所以DM∥平面BEC. 以FG∥平面ADD1A1. 小结：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

作业：完成跟踪训练