2.7 弧长及扇形的面积特级教师教学实录

第三章

圆

禄丰县松园中学

郭秀花

.9

弧长及扇形的面积

1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力.

2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题，训练学生的教学应用能力．

重点

了解弧长及扇形面积计算公式，会用公式解决问题．

难点

探索弧长及扇形面积计算公式，并应用公式解决实际问题．

一、情境导入

在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3 m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.

(1)这只狗的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？

(2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？这个区域的边缘长是多少？

二、探究新知

1．探索弧长公式

课件出示：

如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm.

(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(2)转动轮转1°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

(3)转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？

结论：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝

2．探索扇形面积公式

nπR. 180

(1)观察与思考：怎样的图形是扇形？

(2)扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？

(3)如何求扇形的面积？

①圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少？

②圆心角为

n°的扇形面积是圆面积的多少？

2

πR2如果圆的半径为R，则圆的面积为πR，1°的圆心角对应的扇形面积为，n°的圆360πR2nπR2nπR2心角对应的扇形面积为n·

＝

.因此扇形面积的计算公式为S＝

，其中R为360360360扇形的半径，n为圆心角．

3．扇形面积公式与弧长公式的关系

比较扇形的面积与弧长公式，你能用弧长表示扇形面积吗？

解：∵l＝

∴

nnπR，S扇形＝

πR2，

180360n1nπR2＝

R·

πR. 3602180

1∴S扇形＝lR. 2总结：若已知圆心角和半径，选择S扇形＝

n1πR2，若知道弧长和半径，选择S扇形＝

lR. 3602三、举例分析

例1

制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图中管道︵的展直长度，即AB的长(结果精确到0.1 mm)．

(1)要求管道的展直长度首先需要解决什么问题？

(2)求管道的展直长度即求哪一段弧长？

(3)你能利用已知条件和弧长公式求解吗？

解：∵R＝40 mm，n＝110°.

∴弧AB的长l＝

n110πR＝

×40π≈76.8 mm. 180180因此，管道的展直长度约为76.8 mm. ︵例2

扇形AOB的半径为12 cm，∠AOB＝120°，求AB的长(结果精确到0.1 cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1 cm2)．

(1)题目中给出了哪些已知条件？

(2)这些条件能直接应用于公式吗？

(3)你能利用已知条件和扇形面积公式求解吗？

︵120解：AB的长l＝

π×12＝8π≈25.1(cm)．

180S扇形＝

120π×122＝48π≈150.7 (cm2)．

360︵因此，AB的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 (cm2)．

四、练习巩固

1．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(

)

A．6

B．9

C．18

D．36 2．如图，已知C，D是以

AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于________.

3.如图所示，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AC⊥CD，以CD为直径作半圆O，AB＝4 cm，BC＝3 cm，AD＝13 cm.求图中阴影部分的面积．

五、课堂小结

1．易错点：

πR(1)在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是；

180πR2(2)在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是

. 3602．归纳小结：

nπR(1)n°的圆心角所对的弧长公式l＝

；

180nπR2(2)n°的圆心角所对的扇形面积公式S＝

；

3601(3)半径为R，弧长为l的扇形面积S＝

l R. 2

3．方法规律：

1(1)弧长和扇形面积公式的关系：S＝

l R；

2(2)在应用弧长公式、扇形的面积公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．

六、课外作业

1．教材第101页“随堂练习”第1、2题．

2．教材第102页习题3.11第1、2、3、4题．

本节课教学弧长及扇形的面积．在教学中，结合学生的实际要求，用生活中的实际问题引入新课，调动了学生的兴趣．同时，教学过程中注意因材施教，根据学生的基础创设多姿多彩的问题情境，为每一个学生创造发挥自己才能的空间，让学生体验解决问题策略的多样性，发展学生的实践能力、合作探究能力、自主学习能力与创新精神．