22.1 一元二次方程优质公开课教案

第二十一章

一元二次方程

21．1

一元二次方程

1．了解一元二次方程的概念．应用一元二次方程的概念解决一些简单问题．

2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及其派生的有关概念．

阅读教材第1至4页，并完成预习内容．

问题1

如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？

分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为____________，宽为____________．得方程______________________________________，

整理，得________________________．

化简，得________________________．

①

问题2

要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

分析：全部比赛的场数为________．

设应邀请x个队参赛，每个队要与其他________个队各赛1场，所以全部比赛共____________场．得方程

________________．

化简整理，得________________．

②

知识探究

(1)方程①②中未知数的个数各是多少？________. (2)它们的最高次数分别是几次？________. (3)方程①②的共同特点：这些方程的两边都是________，只含有________未知数(一元)，并且未知数的最高次数是________的整式方程．

自学反馈

1．一元二次方程的概念．

2．一元二次方程的一般形式：_____________________________________________________. 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是________，________是二次项系数；bx是________，________是一次项系数；________是常数项．

二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．

活动1

小组讨论

例1

将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

解：2x2－13x＋11＝0；2，－13，11.

将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．

例2

判断下列方程是否为一元二次方程：

①1－x2＝0；

②2(x2－1)＝3y；

③2x2－3x－1＝0；

12④2－＝0；

xx⑤(x＋3)2＝(x－3)2；

⑥9x2＝5－4x. 解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是．

(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断．

例3

下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？－2，3. －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.

直接将x的值代入方程，检验方程两边是否相等．

活动2

跟踪训练

1．下列各未知数的值是方程3x2＋x－2＝0的解的是(

) A．x＝1

B．x＝－1

C．x＝2

D．x＝－2 2．已知方程3x2－9x＋m＝0的一个根是1，则m的值是________．

3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

(1)5x2－1＝4x；

(2)4x2＝81；

(3)4x(x＋2)＝25；

(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3. 4．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：

(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；

(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；

(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 5．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

可用配方法说明二次项系数不为零．

活动3

课堂小结

1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．

2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0. 3．使一元二次方程成立的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．

【预习导学】

问题1

(100－2x)cm

(50－2x)cm

(100－2x)(50－2x)＝3 600

4x2－300x＋1 400＝0

x2－75x＋350＝0 问题2

28

(x－1)

知识探究

(1)1个

(2)2次

(3)整式

一个

二次

自学反馈

1．略．

2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

二次项

a

一次项

b

c 【合作探究】

x（x－1）x（x－1）

＝28

x2－x－56＝0 22

活动2

跟踪训练

1．B

2.6

3.(1)5x2－4x－1＝0；5，－4，－1.(2)4x2－81＝0；4，0，－81.(3)4x2＋8x－25＝0；4，8，－25.(4)3x2－7x＋1＝0；3，－7，1.

4.(1)4x2＝25；4x2－25＝0.(2)x(x－2)＝100；x2－2x－100＝0.(3)x＝(1－x)2；x2－3x＋1＝0.

5.证明：∵二次项系数a＝m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1>0，∴二次项系数恒不等于零．∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．