10.1 分式优秀教案内容

第10章

分式

一、教学目标：

1．了解分式的概念，分式与整式、分式与分数的联系和区别．

2．通过与分数类比、与整式对比，了解本章主要学习内容和学习方法，感悟类比、转化等数学思想方法，建构本章知识体系，能类比分数研究分式中相关内容．

3．通过本课的学习，建立“学习数学不仅仅要掌握一些单个的知识，更要学会从整体上去把握知识体系”的观念，从而进一步理解数学．

二、教学重点、难点：

重点：通过类比、转化等数学思想方法的渗透，了解本章主要学习内容和学习方法，构建本章知识体系，掌握分式性质和相关运算法则，并会进行简单运算．

难点：构建本章知识体系、梳理初中数学数与式的整体脉络．

三、教学方法与教学手段：

设置问题系列，驱动教学，引导学生与已有知识进行联系，类比学习；通过架构知识结构图，促进学生构建本章知识体系，整体了解本章主要学习内容及学习方法；通过师生互动交流，引导学生主动参与学习、构建知识体系．

四、教学过程：

（一）情境引入：

世界那么大，我想去看看．金老师一直很想来美丽的盐城走一走，看一看．这次正好来盐城比赛，终于成行．

我是驾车从无锡来盐城的．

5假如途中驾车的平均车速是v千米/小时，行驶时间为2小时，则无锡到盐城两地之间的路程是

千米.

事实上，行车途中，并非都是高速．如果我在高速公路上以a千米/小时的均速行驶2小时，在非高速公路上以b千米/小时的均速行驶0.5小时，则两地之间的路程是

千米. 出发之前，我做了下功课．查了下两地路程为230千米，计划t小时到达，则开车的平均车速为

千米/小时．

但计划赶不上变化．路上遇到堵车，实际用时比原计划多了1小时，则实际平均车速是

千米/小时.

行车途中，我给汽车加了一次油．汽油的单价是a元/升，加油量是m升，则应付加油费

元. 有时，好运来了，挡都挡不住．支付加油费时，我用微信付的款，减免了

2元，则实际支付加油费为

元. 因为第一次见我们同学，我决定带点无锡的特产——惠山泥人．我先买了单价为a元的泥人若干个，花了100元，

则买了泥人

又买了泥人

个. 我原本计划在盐城待a天，预计总花费为m元．后被盐城的风土人情所吸引，打算多待b天，并增加

n元的支出，则此时每天的平均支出为

元.

设计意图：数学来源于生活，我们要会用数学的方式来表达现实世界．分式和整式都是刻画现实生活中数量关系的代数式．它们的差异就是在用字母表示数时，字母出现的位置不同，即两者形式上有差异．从“同”出发，使学生感悟“分式”存在的必然性；从“异”入手，引出本节课的研究对象及研究角度．

（二）概念生成：

数学来源于生活．上面出现的几个代数式都刻画了生活中的一些数量关系．

请同学们观察这些代数式，其中哪些是我们已经学过的整式？请把它们找出来．

5230230100160a＋b2v，2a＋0.5b，t

，t＋1，am，am－2，a

，a＋3，m＋n

．

除了这些整式，那么余下的那些式子有什么共同的特征呢？

你再写一个符合这些特征的代数式呢．

这些式子叫什么名字呢？

为什么这些式子不能称为分数呢？

虽然这些式子具有分数的形式，但它们的分母中含有字母．

数学中，我们给分式是这样定义的：

A

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式

B

叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母．

板书：定义

从分式的定义上看，分式与分数既有联系，又有区别：整体看，具备分数的形A式，（板书：B）；但从局部看，分数的分子分母是整数，而分式的分子分母是整式（板书：A、B为整式），并且分母中含有字母（板书：

B中含有字母）．

设计意图：通过观察上面列出的代数式，让学生来辨析分式与整式形式的不同，通过“说说这些式子（分式）的共同点”，形成对分式概念的感知，并在不断完善

个，

后来感觉数量不够，我又买了一些单价为(a＋3)元的泥人，花了160元，则

概念的过程中，内化分式概念．

有个大数学家说啊，数学玩的就是概念．概念不牢，地动山摇．

下面看看同学们对分式概念掌握的到底如何．

例1

判断下列各式是否为分式？若不是，请说明理由．

x＋15b33a1，，

，，2a＋b，，

，，

232bb－4xx＋1设计意图：学生在判断的过程中，加深对分式概念的理解．强化对分式概念的认识．

（三）类比学习

其实啊，分式和分数不仅仅形式相同，它们还有很密切的联系．

230比如t

这个分式（如果学生举出类似形式的分式，就用学生的），如果t＝7，230那么它的值就是7；t＝3呢？t＝4呢？

也就是说，如果给分式中的字母赋一个具体的值，那么分式的值就可能是一个分数．

t＝9呢？t＝11呢？t＝0呢？

分母不能为0！

与分数一样，分式的分母也不能为0．

如果分式的分母为0，那么这个分式就无意义．

例2

下列分式何时无意义？

2＋xx＋2（1）x；（2）；

2x－6从刚才的探究我们发现，分式与分数因为具有相同的形式，

板书：

可以得到分式的分母与分数一样不能为0．也就是说，因为分式与分数形式相同，那么它们的性质相通的．（板书：性质相通）

进一步，我们可以大胆的猜想：

我们在解决分式的问题时，往往可以先想想分数的情况，再把它类比到分式的情形．

设计意图：体会分式与分数的联系，运用类比思想来研究分式．

先买了单价为a的泥人若干个，花了100元，则买了泥人

个，

后又买了一些单价为(a＋3)的泥人，花了160元，则又买了泥人

个.

还记得这个情境吗？想想看，两次我总共购买了多少个泥人？

100160

＋

aa＋3这是一个陌生的分式相加减的运算?学过吗？没学过！怎么算？没办法！不要紧！回到分数中去. 想想看，小学分数相加减是怎么算的？

11例如：2＋3

怎么算？

11325＋＝＋

＝

23666

我们看看这个分数的加法运算，其中用到了分数的哪些知识呢? 异分母转化为同分母

113211通分（2＋3＝6＋6）这一步在做什么呢？（如何对2、3通分的？）

13通分的依据是什么呢？（2

＝

6

的依据是什么？）

板书：性质、通分、运算、加减、异分母

回忆一下，分数的性质是什么呢?分数的加减法法则是什么呢？

让学生回顾，若不熟悉，可以举例．

约分、乘除

回忆一下，分数的乘法法则是？除法法则是？如果学生记不起来，就通过举例，回忆出分数的性质和运算法则．

设计意图：通过一个情境，以点带面，串起本章知识框架．

通过刚才的回忆，知道：小学里，我们主要研究了分数的性质以及加减乘除等运算，通分和约分只是根据分数的性质对分数进行的变形．

分数

分数的分子和分母同时乘以(或性质

除以)同一个不为0的数，分数的值不变．

运算

加减

分式

分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变.

师：想想看，小学里，我们还研究了分数的哪些内容呢？

同分母分数相加减，分母不变，同分母分式相加减，

分母不变，分子相加减.

分子相加减.

异分母分数相加减，先通分，再加减.

分数乘分数，用分子的积做积的乘除

分子，分母的积做积的分母.

除以一个数等于乘以这个数的倒数.

异分母转化为同分母.

分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.

除法转化为乘法. 想想看，分式的性质和运算法则会是什么呢？大胆的猜猜看．

（呈现上述PPT左边的部分，右边一列根据下面的探究不断补充完善．）

1．分式的性质

13等于2a6a吗？

分式的分子分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．

如果不是乘以或除以的一个具体的数呢？整式呢？

b×cbb÷cb我们也可以大胆的猜测：a

＝

，

＝

a×caa÷c你可以类比归纳出分式的性质吗？

分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变．（

PPT呈现）

2．分式的约分和通分

那分式能够约分、通分吗？

6a大胆的猜想下4a2如何约分呢？说说你的想法．

11能给这两个分式进行通分吗？

通分：2a

，3a

我们发现分式的通分、约分的方法与分数约分通分的方法，如出一辙．完全可

3．分式的运算

约分、通分是为分式的加减、乘除运算服务的．想想看，分式的加减运算法则是什么？

（1）分式的加减运算

12试一试：5a

＋5a

11＋2a3a．

以将分数中的方法类比到分式中来．

100160你能大胆的说一说

a

＋

的计算思路吗？

a＋3要计算这个式子，首先要做什么，然后做什么呢？说说你的思路．（这个问题的具体解答过程，留给我们同学与自己的老师一起研究）

（2）分式的乘法和除法

35算一算：2×4．

3×53515×

＝

＝

248，

2×4ac那么

b·d

等于什么？

b2a2b2a2（酌情补充）

a·bc．

变式：a÷bc．

说说你的思路．

总结：分式乘分式，用分子的积做积的分子，

分母的积做积的分母.

分式的除法，转化成乘法．

4．分式方程

先买了单价为a的泥人若干个，花了100元，则买了泥人

个，

后又买了一些单价为(a＋3)的泥人，花了160元，则又买了泥人

个.

再想想看，如果我两次购买的泥人个数相同，那么a的值是多少呢？

100160

＝

aa＋3这个含有未知数a的等式是什么方程？会是一元一次方程吗？

回忆一下，我们初一的《一元一次方程》这章内容，我们学习了一元一次方程的哪些知识呢？

猜猜看，分式方程中，我们也会学习哪些知识呢？

想想看，这个方程你会怎么解呢？说说你的思路．（根据等式的性质去掉分母，x－11转化成一元一次方程．）酌情补充：

＝

x－2x－2（四）课堂小结：

今天，我们共同感受了分式的世界，构建了分式这章的知识框架，你有什么体会呢？

你觉得从明天开始，我们将会具体研究分式的哪些内容呢？

你觉得本章主要的学习方法有哪些？

（五）作业布置：

阅读教材，

梳理本章将要学的知识．