1.1.3 四种命题间的相互关系教案和学案内容

1.1.3 四种命题间的相互关系

一、教学目标

（1）理解“四种命题”的定义

通过实例，让学生理解并掌握四种命题的定义，使学生了解命题的定义的基础上了解原命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义．

（2）理解并掌握“四种命题”的相互关系

命题、四种命题及其相互关系是数学逻辑学的基本知识．数学科包含着大量的命题，了解命题的基本知识，认识命题的相互关系，对学生掌握具体的数学学科知识将有很大的帮助．

（3）利用“四种命题”的相互关系解决实际问题

通过实例，培养学生运用“四种命题”的相互关系分析问题与解决问题的能力．使学生在解决问题，能够多角度、多方位地分析问题，有时可以通过实例，让学生根据命题的相互关系，从问题的逆向思维来思考问题．

二、教学重点、难点

重点：四种命题的定义及其相互关系．

难点：四种命题的真假性及其运用．

三、教学方法

讲授法

四、教学时长

1课时

五、引入：

下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；

1

（一）. 四种命题的概念：

原命题

若p，则q

（二）．新课教授

1.四种命题间的相互关系

下列四个命题中，

（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；

（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；

（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数；

我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）是互否命题，命题（3）（4）是互逆命题. 练习：判断正误,并说明理由: (1)若原命题是“对顶角相等”,它的否命题是“对顶角不相等”。

(2)若原命题是“对顶角相等”,它的否命题是“不成对顶关系的两个角不相等”。

比较：否命题与命题的否定

否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。

命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。

对于原命题:

若

p , 则

q

有

否命题:

若┐p , 则┐q 。

命题的否定:

若

p ，则┐q 。

例

设原命题是“当c >0 时，若a >b

，则ac >bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：

（三）、四种命题之间的

关系

2

逆命题

若q，则p

否命题

逆否命题

若p，则q

若q，则p

一般地，任意两个命题间的关系是：

原命题若p则q互否否命题若┐p则┐q互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p逆逆否互逆2.四种命题真假性之间的关系

发现：

原命题

真

假

真

假

逆命题

假

真

真

假

否命题

假

真

真

假

逆否命题

真

假

真

假

（2）归纳总结：可以发现，一般的四种命题的真假性，有且仅有以上的四种情况。并且由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间有以下关系： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系. 注：1．四种命题真假的个数可能为：0,2,4. 2．原命题与逆(否)命题没有必然的真假关系．

3．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

练习 1、判断下列说法是否正确：

(1)一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真．

（

）

(2)一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真．

（

）

(3)一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假．

（

）

(4)一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假．

（

）

3

（5）“若x＋y≤5，则x≤2或y≤3” （

）

2、四种命题真假的个数可能为 个

六、课堂小结

七、作业

1、命题“若不等式x2＋px＋q≥0的解集为R，则p2－4q≤0”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________．

2、已知命题P：lg(x2－2x－2)≥0的解集是A；命题Q：x(4－x)≤0的解集不是B.若P是真命题，Q是假命题，求A∩B.

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