1.2.1 充分条件与必要条件教学目标设计

《充分条件与必要条件》

《充分条件与必要条件》教学设计

（人教A版选修2-1 第一章 1.2.1）

【教学目的】

知识与技能：正确理解充分条件、必要条件的概念，能正确判断充分条件、必要条件，并掌

握其判断方法。

过程与方法：从实例中感知概念的同时，引导学生将已有知识作为生长点逐步形成概念。在

逐步渗透转化与化归的数学思想的过程中，培养学生正确使用逻辑用语及分析

问题时思维的严谨性，并提高学生分析、判断、归纳的逻辑推理能力。

情感态度与价值观：通过问题情境的引入，渗透数学与生活的密切关系，通过学生主动探究、

合作学习，激发学生学习数学的兴趣，通过逻辑关系的论证，培养学生思维的

严谨性，进一步树立辩证唯物主义的世界观。

【内容分析】

学习数学需要全面理解概念并正确地进行表述、判断和推理，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用。更广泛地说，在日常生活、工作、学习中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。随着高中生思想的成熟，需要高中数学对学生的逻辑思维能力以及思维的严谨性加以提升，所以高中数学人教版选修2-1中安排了内容1.2.1《充分条件与必要条件》。本节课为这一节内容的第一课时。

教材中通过命题真假的判断给出推出符号“”，从而形成充分条件、必要条件的概念。充分条件、必要条件的概念是探讨命题中条件与结论的逻辑关系的工具，是中学数学最重要的数学概念之一。教材在1.1节中安排了《命题及其关系》，为引入概念奠定了基础，再加上前面所学内容为充分条件与必要条件的判断提供了知识储备与保障。当然本节是概念课，充分条件与必要条件的概念抽象又不易理解，所以涉及问题中含有的知识要简单易懂，以达到强化概念理解概念的目的。

在必修中我们学***量的数学定理、定义、性质、结论等，它们中的条件与结论有的构成充分条件，有的构成必要条件。以这些知识为背景来学习本节内容可对前面的知识进行梳理、巩固和提升，在这里适当增加课时也是有必要的，本节内容不仅为后续学习“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”奠定了基础，还可达到训练学生对比、归纳能力的目的，充分体现了本节的价值和承上启下的作用。

【教学重点】

充分条件与必要条件概念的理解，能正确判断充分条件、必要条件。

【教学难点】

必要条件概念的理解，能正确判断必要条件。

《充分条件与必要条件》

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一、回顾复习

四种命题以及它们之间的关系

互

逆

原命题

逆命题

若p则q 若q则p

互

互

互为

否

互为

逆否

逆否

否

否命题

互

逆

逆否命题

若q则p 若p则q

（1）互为逆否命题的两命题的真假性相同

（2）互为逆命题或否命题的两命题的真假性无关

【设计意图】通过对四种命题及其关系的知识回顾，为充分条件、必要条件概念的引入做好知识铺垫。

二、问题情境

情境一：

新学期开学报到当天，学生甲带着她的弟弟来到学校，学生甲向学生乙介绍说：“我的弟弟上高一。”这时候学生乙有必要问：“弟弟上高中吗？”

情景二：

新学期开学报到当天，学生甲带着她的弟弟来到学校，学生甲向学生乙介绍说：“我的弟弟上高中。”学生乙想知道弟弟是否上高一，这时候学生乙有必要问：“弟弟上高一吗？”

【设计意图】由实际生活中的例子：上高一与上高中之间的推出与推不出的关系，引出本节课题，使学生从生活实例中感知概念，把抽象的概念感性化，易于学生接受。

三、生成概念

1、命题符号化

判断下列命题的真假

（1）若xab，则x2ab

（2）若ab0，则a0

分析：（1）由ab2ab易得命题“若xab，则x2ab”为真命题

若p则q为真，即由p可推出q，记作pq

命题“若xab，则x2ab”为真命题，记作：xabx2ab

（2）由ab0可得a0或b0，命题“若ab0，则a0”为假命题

若p则q为假，即由p推不出q，记作pq

2222222222ab0，则a0”为假命题，记作：ab0a0

命题“若

例1：用符号“”与“”填空

（-，） （1）f(x)x f(x)在上为增函数。

（2）ab acbc

【设计意图】将命题的真假用“、”符号化表示，为充分条件、必要条件的

2

《充分条件与必要条件》

引入做好符号语言铺垫，并可使学生摆脱是p是条件、q是结论的定式困扰，为充分条件、必要条件概念的灵活运用打牢基础。

2、符号概念化

若p则q为真，记作：pq，我们就说p是q的充分条件

若q则p为真，记作qp，即没有q成立就没有p成立，即q是p成立所必

需的，就说q是p的必要条件

归纳总结：pq，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件

pq，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件

类比推理：【设计意图】将命题的真假符号化并作为知识生长点直接给出充分条件的概念，使充分条件与必要条件的概念都以pq的形式给出，形式简单且易于理解。以原命题与逆否命题真假相同得出qp，即q是p成立所必需的，不仅复习回顾了知识，还使必要条件的概念经过语言转化后简单易懂。

3、概念实例化：

回归问题情境

（1）若弟弟上高一，则弟弟上高中

（2）若弟弟上高中，则弟弟上高一

找学生举例：生活中的充分条件、必要条件的例子

【设计意图】由问题情境引入了课题，再由充分条件与必要条件的概念回归到对问题情境的诠释，做到首尾呼应，使得问题从提出到解决有始有终，并将数学问题再次回到生活实际化，加深学生对概念的理解，也体现数学与生活的密切关系。

四、强化概念

例2、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件，

q是p的

必要条件？

（1）若x1，则x4x30

（2）若x为无理数，则x为无理数

分析：判断哪些命题中的p是q的充分条件，也就是要判断p能否推出q

，判断哪些命

题中的q是p的必要条件，也是要判断p能否推出q

。所以本题只需从判断p能否推出

q即可。

22 （1）将x1带入方程x4x30中成立，所以p：x1q：x4x30

所以p是q的充分条件，q是p的必要条件

22 2，带入x2中，此时x2不为无理数。所以p：x为无理数q：2 x为无理数。所以p不是q的充分条件，q不是p的必要条件

（2）举反例。令x 巩固运用：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件，

q是p

的必要条件？

（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行

（2）若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线是圆的切线

问题：如何判断“若p，则q”形式的命题中，q是p的充分条件，

p是q的必要条件？

分析：根据充分条件与必要条件的概念，q是p的充分条件，

p是q的必要条件，都是

只需判断q推出p。

3

《充分条件与必要条件》

例3、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的充分条件，

p是q的

必要条件？

1、若两三角形全等，则这两三角形面积相等。

2、若x2y2，则xy

分析：（1）q：两三角形面积相等p：两三角形全等，q不是p的充分条件，

p不是

q的必要条件。

（2）q：xyp：x2y2，q是p的充分条件，

p是q的必要条件。

巩固运用：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的充分条件，

p是

q的必要条件？

（1）若=，则sinsin

（2）若a0，则ab0

【设计意图】例题2中有一题是pq，有一题pq，是为学生全面辨析概念提供了多样化的范例，在例2和例3以及它们的配套练习中所涉及知识点较全面，体现了所学知识与充分条件必要条件的融合。设置“q是p的充分条件，

p是q的必要条件”这样的问题，主要是为了检验学生对概念本质的理解和运用，从而体现出“万变不离其宗”的意义。

总结判断充分条件与必要条件的步骤：

要得出m是n的充分条件，n是m的必要条件，只需找出谁是m，谁是n，判断是

否有mn

【设计意图】对于充分条件与必要条件的概念理解中，容易产生p与q哪个是条件，哪个是结论的困扰，所以总结是将其改为“m是n的充分条件，n是m的必要条件”，避开了字母因素的干扰，对充分条件与必要条件的概念本质理解的更全面。

五、小结反思

1、充分条件与必要条件的概念

命题“若p，则q”为真、pq、p是q的充分条件、q是p的必要条件，四者可 以相互转换、相互依赖且共存，是充分条件、必要条件的不同描述形式。

2、判断充分条件与必要条件的步骤

找出p与q，判断p与q之间的“”、“”，得出结论。

【设计意图】总结本节课内容，提取重点，回归目标，学生可以自我做出课堂反馈。

六、作业

将关于线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理改为充分条件 与必要条件的表述形式。

【设计意图】借助充分条件与必要条件的知识，使学生对所学知识又有了新的认识，并对所学知识巩固更牢固。

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