3.1.3 空间向量的数量积运算教案和课堂实录

§3.1.3空间向量的数量积运算

【学情分析】：

本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，一方面复***面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念

【教学目标】：

（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律

（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理及其逆定理的证明

（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一反三的能力。

【教学重点】：

空间向量的数量积运算

【教学难点】：

空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用

【教学过程设计】：

教学环节

1、平面向量的数量积

（1）设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cosa,b叫作向量a,b的数量积，记作ab，即

ab＝|a||b|cosa,b

一．温故知新

（2）夹角：cosa,b（3）运算律

复习旧知识，为新知识做铺垫，让学生可以非常容易的接收空间向量的数量积概念。

教学活动

设计意图

ab|a||b|．

abba；(a)b(ba)；a(bc)abac

二．新课讲授

注意夹角的表示方法和意义，垂定义：a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作直的表示。

则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a,b

OAa,OBb，

规定：0a,b

1、夹角

特别地，如果a,b0，那么a与b同向；如果a,b，那么a与b反向；如果a,b900，那么a与b垂直，记作ab。

2、数量积

（1）设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cosa,b叫作向量a,b的数量积，记作ab，即

ab＝|a||b|cosa,b

（2）夹角：cosa,b（3）运算律

注意向量运算和代数运算的差别。

ab|a||b|．

abba；

(a)b(ba)；

a(bc)abac

思考：

1、若abac，是否有bc成立？

2、若abk，是否有akk，或b成立？

ba3、向量数量积是否有结合律(ab)ca(bc)成立？

例1．

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，AO是PA在平面内的射影，l且lOA，

求证：lPA

三．典例讲练

证明：取直线l的方向向量a，同时取向量PO，PA。

因为lOA，所以aOA0。

因为PO，且l，所以lPO

因此aPO0。

注重向量在垂直、共面中的使用的意识的培养。

又因为aPAa(POOA)aPOaOA0，

所以lOA

这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明

三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。

例2．m，n是平面内的两条相交直线，如果lm，ln，求证：l

证明：在内作任一直线g个，分别在l，m，n，g，上取非零向量l，m，n，g。

因为m与n相交，所以向量m，n不平行，由向量共面的充要条件

知，存在惟一的有序实数对(x,y)，

使gxmyn

将上式两边与向量作数量积，

得lgxlmyln

因为lm0，ln0，

所以lg0

所以lg，即lg

这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，

所以l

1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的小为（ ）

四．练习

（A）60（B）90

（C）105（D）75

0000

A1C1大B1注意|a|ACa2的使用

B

2、如图，在平行六面体ABCD-A’B’C’D’AD=3，AA’=5，BAD=90，A'0D'中，AB=4，C'BAA’=DAA’=600，求A’C的

长。

DB'C

AB

巩固

3、如图，线段AB，BD在平

面内，BDAB，线段AC，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D间的距离。

（1）夹角、空间向量数量积、运算律

五．小结

（2）三垂线定理及其逆定理

（3）夹角、距离的求法

回顾方法

六．作业

课本P97，习题3.1 A组，第3题、第4题、第5题

练习与测试：

（基础题）

1．

已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点。求证OG⊥BC 分析：要证OG⊥BC，只需证明OGBC0。

把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示

11111略解：OG(OMON)OA(OBOC)(OAOBOC)

22224

BCOCO

B（中等题）

２．

已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60º

（1）证明CC1⊥BD C1A1D1B1（2）当CD的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？并证明

CC1分析：取CD,CB,CC1为运算的基向量，则BDCDCB。

A注意向量间的方向对夹角的影响

CDB略证（2）设CD(0)，菱形边长为a，则CDCC1

CC1ACC1D(CDCBCC1)(CDCC1)13222a20，解得1

当1时，ACBD(CDCBCC1)(CDCB)0

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