2.6.3 曲线的交点PPT配套教学设计内容

2．6.3

曲线的交点

[学习目标]

1.掌握求直线与圆锥曲线的交点坐标的方法.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系.3.进一步体会数形结合的思想方法．

[知识链接] 1．直线与椭圆有几个交点？

答：两个交点、一个交点和无交点．

2．直线与双曲线和抛物线何时仅有一个交点？

答：直线与双曲线和抛物线相切或直线与双曲线渐近线平行以及直线与抛物线对称轴平行时仅有一个交点．

[预习导引] 1．两曲线的交点个数与对应的方程组的实数解组数相同．

2．设斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则弦长P1P2＝1＋k2|x1－x2|.

要点一

直线与圆锥曲线的交点问题

例1

k为何值时，直线y＝kx＋2和曲线2x2＋3y2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？

y＝kx＋2，

①解

依题意得方程组2

22x＋3y＝6，②

①代入②整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0. ∵Δ＝(12k)2－4×6(2＋3k2)＝24(3k2－2)，

∴当3k2－2>0，即k>66或k<－时，直线与曲线有两个公共点；

336当3k2－2＝0，即k＝±时，直线与曲线仅有一个公共点；

3当3k2－2<0，即－66

33规律方法

直线与圆锥曲线的公共点问题，往往解由直线方程与圆锥曲线的方程组成的方程组并消去x(或y)后，得到一个形式上为一元二次的方程，这个方程是否为二次方程要看二次

项的系数是否为零(有时需讨论)，是二次方程时还要判断“Δ”与“0”的大小关系．

跟踪演练1

直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C分别相切、相交、相离？

y＝kx＋1，解

将直线l和抛物线C的方程联立2

y＝4x，

①②

①式代入②式，并整理，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. (1)当k≠0时，是一元二次方程，

∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．

当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切．

当Δ>0，即k<1时，l与C相交．

当Δ<0，即k>1时，l与C相离．

(2)当k＝0时，直线l：y＝1与曲线C：y2＝4x相交．

综上所述，当k<1时，l与C相交，当k＝1时，l与C相切，当k>1时，l与C相离．

要点二

弦长问题

例2

顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x－2y－1＝0截得的弦长为15，求抛物线方程．

解

设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，

x2＝ay，由方程组

x－2y－1＝0.

消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直线与抛物线有两个交点，

∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8. 设两交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

aa1则x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝(x1－x2)，

222弦长为AB＝x1－x22＋y1－y22

＝＝5x1－x22＝415a2－8a. 45[x1＋x22－4x1x2] 4∵AB＝15，

∴15a2－8a＝15，

4即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12. ∴所求抛物线方程为x2＝－4y或x2＝12y. 规律方法

求直线被双曲线截得的弦长，一般利用弦长公式AB＝1＋k2|x1－x2|＝11＋2|y1k

b2－4ac－y2|及公式|x1－x2|＝较为简单．

|a|跟踪演练2

已知直线y＝2x＋b与曲线xy＝2相交于A、B两点，若AB＝5，求实数b的值．

解

设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

y＝2x＋b，联立方程组消去y，整理得2x2＋bx－2＝0.①

xy＝2，

∵x1、x2是关于x的方程①的两根，

b∴x1＋x2＝－，x1x2＝－1. 2又AB＝1＋k2x1＋x22－4x1x2，其中k＝2，代入则有

b2＋16AB＝1＋2·＝5，∴b2＝4，则b＝±2. 22故所求b的值为±2. 要点三

与弦的中点有关的问题

例3

抛物线y2＝8x上有一点P(2,4)，以点P为一个顶点，作抛物线的内接△PQR，使得△PQR的重心恰好是抛物线的焦点，求QR所在直线的方程．

解

抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)．

∵F为△PQR的重心，∴QR的中点为M(2，－2)，如图所示．

设Q(x1，y1)、R(x2，y2)，

2y1＝8x1，

①则有2

y2＝8x2，②2①－②，得y21－y2＝8(x1－x2)．

又y1＋y2＝－4，

y1－y288∴直线QR的斜率为k＝＝＝＝－2. x1－x2y1＋y2－4∴QR所在直线的方程为y＋2＝－2(x－2)，

即2x＋y－2＝0. 2规律方法

本题设出Q、R的坐标，得出y21＝8x1，y2＝8x2，再作差的解法称为点差法，点差法是解决圆锥曲线的中点弦问题的有效方法，应熟练掌握它．

跟踪演练3

直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，AB中点坐标为(3,2)，求直线l的方程．

2解

设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y21＝4x1，y2＝4x2，相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，

又因为y1＋y2＝4，所以kAB＝y1－y2＝1. x1－x2所以直线l的方程为y－2＝x－3，即x－y－1＝0.

1．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．

答案

3－1 c解析

2a＝c＋3c，e＝＝3－1. ax2y22．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2.过F1作倾斜角为30°的直线与椭ab圆的一个交点P，且PF2⊥x轴，则此椭圆的离心率e为________．

答案

3

3b22b23b2解析

由题意得PF2＝，PF1＝，由椭圆定义得＝2a,3b2＝3a2－3c2＝2a2，则此椭圆的aaa离心率e为3. 33．双曲线的焦点在y轴上，且它的一个焦点在直线5x－2y＋20＝0上，两焦点关于原点对称，5离心率e＝，则此双曲线的方程是____________．

3y2x2答案

－＝1 3664解析

焦点坐标为(0,10)，

故c＝10，a＝6，b＝8. 4．抛物线x2＝－4y与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A，B两点，则AB＝________. 答案

4 解析

由抛物线方程x2＝－4y得p＝2，且焦点坐标为(0，－1)，故A，B两点的纵坐标都为－1，从而AB＝|y1|＋|y2|＋p＝1＋1＋2＝4.

Ax＋By＋C＝0，1.解方程组时，若消去y，得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，这时，要考fx，y＝0

虑a＝0和a≠0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a≠0，Δ＝0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点(Δ＝0不是直线和抛物线只有一个公共点的充要条件)．

Ax＋By＋C＝0，2．求解与弦长有关的问题，一般用“根与系数的关系”来处理，即联立方程组

fx，y＝0

消去y，得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，设其两根为x1，x2，则P1P2＝1＋k2|x1－x2|＝

1＋k[x1＋x2－4x1x2]＝22b24c1＋k2－. aa23．求解与弦的中点有关的问题，除可用“根与系数的关系”外，还可以用“平方差法”(设而不求)．即设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是圆锥曲线mx2＋ny2＝1上两点，P0(x0，y0)是弦P1P2的中222点，则由mx21＋ny1＝1，mx2＋ny2＝1相减，

y1－y2mx0得m(x1＋x2)(x1－x2)＋n(y1＋y2)(y1－y2)＝0，从而kP1P2＝＝－. ny0x1－x2

一、基础达标

1．若直线l过点(3,0)且与双曲线4x2－9y2＝36只有一个公共点，则这样的直线共有________条．

答案

3 2解析

有两条与渐近线平行的直线：y＝±(x－3)，

3另外，还有一条切线x＝3. 2．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点为(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离是________．

答案

25

525解析

由交点坐标为(1,2)，求得a、p的值，利用点到直线距离求得焦点到该直线的距离为. 53．曲线x2＋y2＝9与曲线x2＝8y的交点坐标是________．

答案

(±22，1) 22x＋y＝9，y＝1，解析

由2得

x＝8y，22，x＝±

∴交点坐标为(±22，1)．

4．过点(0,1)且与抛物线y2＝x只有一个公共点的直线有______条．

答案

3 解析

一条与抛物线的对称轴平行，两条相切，共3条．

5．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________. 1答案

4x－y－1＝0，解析

由消去y得方程ax2－x＋1＝0. 2y＝ax，

1令Δ＝1－4a＝0，得a＝. 4x2y26．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为________．

94答案

相交

解析

因为直线过的定点(1,1)恒在椭圆内，所以，直线与椭圆相交．

x227．如图，斜率为1的直线l过椭圆＋y＝1的右焦点，交椭圆于A、B4两点，求弦AB的长．

解

设A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，由椭圆方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，所以F(3，0)，直线l的方程为y＝x－3.将其代入x2＋4y2＝4，化简整理，得5x2－83x＋8＝0. 838所以x1＋x2＝，x1x2＝. 55所以AB＝1＋k2|x1－x2| ＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2

832－4×5×88＝2×＝. 55二、能力提升

8．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点横坐标为________．

答案

9或1 x2y29．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得的弦的中点坐标是____________．

4221答案

(－，) 33y＝x＋1，22解析

由xy消去y得3x2＋4x－2＝0，

4＋2＝1，42所以x1＋x2＝－，所以弦的中点的横坐标为－，

3321代入y＝x＋1，得中点坐标是(－，)．

3310．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的相异两点A、B，则AB＝________. 答案

32 解析

设AB的方程为y＝x＋b，与y＝－x2＋3联立得：

x2＋x＋b－3＝0，

∴Δ＝1－4(b－3)>0，x1＋x2＝－1，x1x2＝b－3.

11－，b－在x＋y＝0上：

∴AB的中点C2211即－＋b－＝0，解得b＝1符合Δ>0，

22∴弦长AB＝1＋1·1－4×－2＝32. 11．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点．设△AOB的面积为S(O为原点)，若S的最小值为8，求此时的抛物线方程．

p解

如题干图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x＝my＋，代入2y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0，∴y1y2＝－p2. 1p1pppp2又S△AOB＝S△OAF＋S△OBF＝··|y|＋··|y|＝(|y|＋|y2|)≥·2|y1y2|＝. 2212224142p2当且仅当|y1|＝|y2|＝p时等号成立．故Smin＝. 2p2由题意有＝8，∴p＝4. 2故所求的抛物线方程为y2＝8x. 12．已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N. (1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

→→(2)是否存在实数k使NA·NB＝0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

2(1)证明

如图所示，设A(x1,2x21)，B(x2,2x2) 把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，

k由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝－1，

2x1＋x2k∴xN＝xM＝＝，

24kk2∴N点的坐标为(，)．

48设抛物线在点N处的切线l的方程为

k2ky－＝m(x－)，

84mkk2将y＝2x代入上式得2x－mx＋－＝0. 4822∵直线l与抛物线C相切，

mkk2∴Δ＝m－8(－)＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，

482∴m＝k，即l∥AB.

故抛物线C在点N处的切线与AB平行．

→→(2)解

假设存在实数k，使NA·NB＝0，

1则NA⊥NB.又∵M是AB的中点，∴MN＝AB. 211由(1)知yM＝(y1＋y2)＝(kx1＋2＋kx2＋2) 2211k2k2＝[k(x1＋x2)＋4]＝(＋4)＝＋2. 2224∵MN⊥x轴，∴MN＝|yM－yN| 2k2k2k＋16＝＋2－＝. 488又AB＝1＋k2·|x1－x2| ＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2

k1＝1＋k2·2－4×－1＝k2＋1·k2＋16. 22k2＋1612∴＝k＋1·k2＋16，解得k＝±2. 84→→即存在k＝±2，使NA·NB＝0. 三、探究与创新

13．已知抛物线C：y＝－x2＋mx－1，点A(3,0)、B(0,3)，求C与线段AB有两个不同交点时m的取值范围．

解

线段AB：x＋y－3＝0(0≤x≤3)．

x＋y－3＝0，由消去y，得x2－(m＋1)x＋4＝0. 2y＝－x＋mx－1.

令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，

则方程f(x)＝0在[0,3]内有两个不同实数根的充要条件是

100，f3＝3－3m＋1＋4≥0，2Δ＝m＋12－4×1×4>0，

10解得3

3