1.2.1 充要条件教案和学案内容

1.2.1《充分条件和必要条件》教案

【教学目标】

1. 正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；

2.

会判断命题的充分条件、必要条件. 3.

正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义. 4.

正确判断充分不必要条件、

必要不充分条件、充要条件、

既不充分也不必要条件. 【导入新课】

复习导入

1. 命题的概念、命题的组成；

2. 四种命题之间的关系；

3.判断下列命题是真命题还是假命题? （1）若x>a2+b2,则x>2ab. （2）若ab=0，则a=o. （3）有两角相等的三角形是等腰三角形. （4）若a2>b2，则a>b. 4

写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？

（1）若x＞a2+ b2，则x＞2ab；

（2）若ab＝0，则a＝0.

.. 新授课阶段

问题3的答案：

(1)、（3）为真命题；（2）、（4）为假命题.

对问题4的归纳：命题(1)为真命题，命题(２)为假命题. 置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？

答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题. 1.充分条件和必要条件的定义

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命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件.

一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：pq. 定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p



q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件. 上面的命题(1)为真命题，即x＞a2+b2

x＞2ab，所以“x＞a2+ b2

”是“x＞2ab”的充分条件，“x＞2ab”是“x＞a2+ b2”的必要条件. 例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？

（）若1x1，则3x3；（2）若x1，则x23x20；

x（3）若f(x)，则f(x)为减函数；3（4）若x为无理数，则x2为无解析：

根据命题的组成特征得到：只有第四个命题不符合条件. 例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？

（1）若a=0，则ab=0

；

（2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；

（3）若a>b，则ac>bc

；

（4）若x=y，则x2=y2. 解析：根据必要条件的概念，得到只有第2个符合条件. 2. 充要条件的有关概念

已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数. 请判断：

p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？

分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．

易知：pq，故p是q的充分条件；

2

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又q



p，故p是q的必要条件．

此时,我们说, p是q的充分必要条件.

类比归纳

一般地,如果既有pq

，又有qp

就记作p



q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p



q,那么p

与

q互为充要条件. 例3：下列各题中，哪些p是q的充要条件？

（１）

p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；

（２）

p:x

＞

0,y

＞

0,q: xy＞

0；

（３）

p: a

＞

b ,q: a + c

＞

b + c；

（４）

p:x

＞

5, ,q: x

＞

10；

（５）

p: a

＞

b ,q: a2

＞

b2. 分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p. 解：命题（１）和（３）中，pq

，且qp，即p



q，故p

是q的充要条件；

命题（２）中，pq ,但q



p，故p

不是q的充要条件；

命题（４）中，pq

，但qp，故p

不是q的充要条件；

命题（５）中，pq

，且qp，故p

不是q的充要条件. 归纳：一般地，

若pq ,但q



p，则称p是q的充分但不必要条件；

若pq，但q



p，则称p是q的必要但不充分条件；

若pq，且q



p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：

①若pq ,但q



p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p



q，则p是q的必要但不充分条件；

③若pq，且qp，则p是q的充要条件；

④若p



q，且q



p，则p是q的既不充分也不必要条件. 课堂小结

1.总结如下：①若pq ,但q

p，则p是q的充分但不必要条件；

②若qp，但p

q，则p是q的必要但不充分条件；

3

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③若pq，且qp，

则p是q的充要条件；

④若pq，且q



p，则p是q的既不充分也不必要条件．

2.充要条件的判定方法：如果“若p，则q”与“

若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是. 作业

见同步练习部分

拓展提升

1.设aR，则a1是11

的

（

）

a

B．必要但不充分条件

A．充分但不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2.设a,bR，则不等式ab与11都成立的充要条件是（

）

ab

A.ab0

B.a0,b0

C.ab0

D.ab0

3.给出下列命题：①ab0是a2b2的充要条件；

②ab0是11的充要条件；

ab③ab0是a3b3的充要条件.则其中为真命题的有（

）

A．0个

B．1个

C．2个

2

D．3个

4.已知命题p:4k0;命题q:函数ykxkx1的值恒为负.则命题p是命题q成立的（

）

A．充分但不必要条件

C．充要条件

B．必要但不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5.不等式(1|x|)(1x)0成立的充要条件是

.

6.命题p:2m0,0n1；命题q:关于x的方程x2mxn0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.

4

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参考答案

11a110，

∴1，条件充分，反之不真，如a1. aaa11ba2.B【解析】0，

∵ab，

∴ab0.而ab，故得a0,b0. abab113.A【解析】①ab0a2b2，反之不真；②ab0

，反之不真；③ab1. A【解析】a1，则ab0a3b3，反之不真.

4.A【解析】4k0k0,k4k0；函数ykxkx1的值恒为负，不一定有4k0，如k0时，函数ykxkx1的值恒为负. 2225. x1且x1【解析】x0时，(1|x|)(1x)01x0,

∴0x1；x0时，

(1|x|)(1x)0(1x)0此式当x1时恒成立. 226.解：设关于x的方程x2mxn0有两个小于1的正根x1,x2，则x1x2m，∵0x11,0x21，

∴0m2,0n1，

∴2m0,0n1，x1x2n，这说明p是q的必要条件.设2m0,0n1，关于x的方程x2mxn0不一定有两个小于1的正根，如m1,n33时，方程x2x0没有实数根，这说明p不是q44的充分条件.综上，p是q的必要不充分条件.

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