3.3.4 两条平行直线间的距离教学实录与评析

3.3.4 两条平行直线间的距离

泸西一中 数学组 马雪庆

教学目标

1.让学生掌握两平行直线的距离公式，并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 重点难点

教学重点:两平行直线间距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 教学过程

复习回顾.

①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么? ②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的，若A、B中有一个为零，公式是否仍然成立？

(ⅰ)x0=0,y0=0时，d=|C|AB22；(ⅱ)x0≠0,y0=0时，d=|Ax0C|AB22；

(ⅲ)x0=0,y0≠0时，d=|By0C|AB22. 对任意的点P(x0,y0)，d=

|Ax0By0C|AB22. 启发诱导：当P点在一条直线上运动时，如何求与这条直线平行的直线的两直线的距离？

证明：设过点P且与直线l平行的直线l1的方程为Ax+By+C1=0，令y=0，得P′(C1,0). A|A(∴P′N=(1) ∵P在直线l1:Ax+By+C1=0上, C1)C||CC1|AA2B2A2B2.

∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0. 代入(1)得|P′N|=|CAx0By0|AB22

即d=|Ax0By0C|AB22,. ②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③引导学生得到两条平行线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0的距离d=|C1C2|AB22. 证明：设P0(x0,y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为d=|Ax0By0C|AB22. 又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2，∴d=|C1C2|AB22. 讨论结果：①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0，求点P到直线l的距离公式为d=|Ax0By0C|AB22. ②当A=0或B=0时，上述公式也成立. ③两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离公式为d=应用示例

例1 求点P0(-1，2)到下列直线的距离：

(1)2x+y-10=0;(2)3x=2. 解:(1)根据点到直线的距离公式得d=|C1C2|AB22. |2(1)210|212210525. 25-(-1)|=. 33点评：例1(1)直接应用了点到直线的距离公式，要求学生熟练掌握；(2)体现了(2)因为直线3x=2平行于y轴，所以d=|求点到直线距离的灵活性，并没有局限于公式. 变式训练

点A(a，6)到直线3x－4y=2的距离等于4，求a的值.

解:|3a462|3242=4|3a-6|=20a=20或a=46. 3例2 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求△ABC的面积. 1解:设AB边上的高为h，则S△ABC=|AB|·h.

2|AB|=(31)2(13)222，

AB边上的高h就是点C到AB的距离. y3x1AB边所在的直线方程为,即x+y-4=0. 1331点C到x+y-4=0的距离为h=|104|112252，

因此，S△ABC=15×22=5. 22点评：通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练

求过点A(-1,2),且与原点的距离等于2的直线方程. 2解:已知直线上一点，故可设点斜式方程，再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x＋y－1=0或7x＋y＋5=0. 例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离. 解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=|23708|22(7)214531453. 53点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练

求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距离. 课堂小结

通过本节学习，要求大家：

1.掌握两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案，培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力，鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神，学会合作. 作业

课本习题3.3 A组9、10；B组2、4.