3.1.3 空间向量的数量积运算名师教学设计2

3.1.3空间向量的数量积运算

教学目标

重点:

应用空间向量的数量积解决立体几何问题.

难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题.

知识点：空间向量夹角的概念及表示方法,空间向量数量积的运算性质及运算律. 能力点：本节课是在学生已经掌握了平面向量数量积及性质的基础上探究空间向量数量积运算的定义、性质、运算律. 通过比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；同时探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力. 自主探究点：在充分了解平面向量的概念、运算及空间向量的概念、向量的加、减以及数乘向量等运算基础上,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的应用. 考试点：借助空间向量的数量积定义、性质及运算律解决相关的立体几何问题. 易错易混点：对于运算abac及(ab)ca(bc)与ab成立的条件，及异面直线夹角与向量夹角的关系学生容易迷惑. 拓展点：通过本节课的学习,让学生感受空间向量数量积在解决立体几何中的作用. 教具准备 多媒体课件和实物投影. 课堂模式 学案导学

一、引入新课

1.平面向量的数量积定义: 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积（或内积）,记作：ab，即：ab|a||b|cos,其中是a与b的夹角, 范围是0注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.

aba|b|cos，(0.

)所以其值的符号由cos决定,进而由的大小决定;即

02,ab0;2,ab0;2,ab0.

规定:零向量与任意向量的数量积为0.

2.平面向量的数量积的几何意义: 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.

3.平面向量的数量积的主要性质: 设a与b(对于零向量问题结论很直观),则

①abab0. (思考:若没有a与b为非零向量这一条件,结论会是什么呢?)

②当a与b同向时(cos1),则ab|a||b|;

当a与b反向时(cos1),则ab|a||b|; 特别地,aaa|a|或|a|22aa.(此法对于求向量的模非常实用)

③由于1cos1,|ab||a||b|.

④由ab|a||b|cos,则cosab(对于公式的逆用,很方便于求两向量的夹角).

|a||b|4.平面向量数量积满足的运算律:已知向量a,b,c和实数,则:

①abba; ②(a)b(ab)a(b);③(ab)cabbc.

特别说明:

①数量积不满足结合律(ab)ca(bc)

②满足实数的完全平方公式和平方差公式的形式(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2.

思考:平面向量数量在解决平面解析几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题发挥着很重要的作用,而在立体几何中的平行、垂直、夹角、距离(模)等问题平面向量的数量积显着无能为力,这时候我们发现平面向量的数量积运算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们就需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度. 【设计意图】开篇点题让学生明确本节课的教学内容,同时学生带着老师的问题去学习目标性更强.

二、探究新知：

在空间任意的两个向量总是共面的,如图3.111,对于两个非零向量a,b,总可以在空间中任取一点O,使OAa,OBb,则AOB叫做向量a,b的夹角,记作a,b.

A

a

b

a

O

B

a

b

图3.111

A

a

b

O

b

B

规定:

(1)0a,b,两个向量的夹角是唯一确定的,且a,bb,a.

(2)如果a,bπ,那么称向量a,b垂直,记作ab.

21.空间向量数量积的定义:已知两个非零向量a,b,,则|a||b|cosa,b,叫作a,b的数量积(inner product),记作ab.即ab=|a||b|cosa,b

规定:零向量与任意向量的数量积为0.

思考1:类比平面向量,你能说出ab的几何意义吗?

2. 空间向量的数量积的几何意义: 数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.

思考2:

类比平面向量,你能说出空间向量数量积有哪些性质吗?

3.空间向量的数量积的主要性质: 设a与b(对于零向量问题结论很直观),则

①abab0. (思考:若没有a与b为非零向量这一条件,结论会是什么呢?)

②当a与b同向时(cos1),则ab|a||b|;

当a与b反向时(cos1),则ab|a||b|;

特别地,aaa2|a|2或|a|aa.(此法对于求向量的模非常实用)

③由于1cos1,|ab||a||b|. ④由ab|a||b|cos,则cosab(对于公式的逆用,很方便于求两向量的夹角).

|a||b|思考3:

类比平面向量,你能说出空间向量数量积有哪些性质吗?

4.平面向量数量积满足的运算律:已知向量a,b,c和实数,则:

①交换律:abba; ②(a)b(ab)a(b);③分配律:(ab)cabbc.

特别说明:

①数量积不满足结合律(ab)ca(bc)

②满足实数的完全平方公式和平方差公式的形式(ab)2a22abb2,(ab)(ab)a2b2.

【设计意图】通过思考类比平面向量数量积的有关概念和性质，可以让学生更好的理解和应用空间向量数量积的概念和性质. 三、理解新知：

1.明确数量积的值是一个实数,其值可正、可负、可为零,两向量的夹角起关键作用.

2.若ab,则ab0;那么,当ab0时ab一定成立吗?

分析:

ab0成立，a与b不一定垂直,有可能其中一个向量是零向量也满足此条件.

3.abac一定成立吗,若成立则bc能一定成立吗?

分析:由数量积的定义显然abac不一定成立;若成立可能a=0或ab,ac.

而

abac成立,bc也不一定成立.(这和实数运算不一样,不能直接约分) 4.(ab)ca(bc)不一定成立,体现数量积不满足结合律. 5.异面直线夹角的范围是(0,]，向量夹角的范围是[0,π]，即异面直线夹角的余弦值与向量夹角的余弦值的关系为cosθ|cosa,b|

【设计意图】通过以上5点可以进一步理解数量积运算的特殊情况,进一步明确本节的易错点和难点. π2四、运用新知

题型一:利用数量积求夹角

例1.已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点,且SASBSC1,M,N分别是AB,SC的中点,设SAa,SBb,SCc. (1)试用a,b,c表示SM,BN; (2) 求SMBN

(3)求异面直线SM与BN所成角的余弦值. 分析:

要求异面直线SM与BN所成角的余弦值, 即求cosS

N

A

N

M

B

SMBN|SM||BN|,所以(1) (2)为求解(3)做准备; 同时注意异面直线SM与BN所成角的余弦值与cos的大小关系.

教师板书例题的求解过程:

π1,所以ab=bc=ca=. 3211111ab.BNBCCNSCSBSCcb

即:SM(SASB)222221111112(2) 由(1)知SMBN(ab)(cb)(ac-ab+bc-b)

2222221111111 (1). 2222222解：(1)由题意得, |a|=|b|=|c|=1,且a,b,c三个向量两两夹角均为(3)因为cosSM,BNSMBN|SM||BN|2.

333222. 312所以,

异面直线SM与BN所成角的余弦值为注意:本题中两向量夹角的余弦值为22,两异面直线所成角的余弦值应为,这是因为两种夹角的范围不33同而导致,这一点学生容易出错教师应重点强调.

【设计意图】通过本例题一是可以复习前面学的用已知向量表示未知向量,二是让学生熟练用空间向量数量积求异面直线夹角的方法. 方法小结:利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的解题步骤: (1)取向量:根据题意在所求的两异面直线上取两个向量a,b为其方向向量. (2)转化角:把异面直线所成角的问题转化成方向向量的夹角问题. (3)求余弦:利用数量积公式求两个方向向量夹角的余弦值cosa,b. (4)定结果:因为异面直线所成角为锐角或直角,故cosθ|cosa,b|. 变式训练1:如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB2BB1,求AB1与C1B所成角的大小( )

(A)60 (B)90 (C)105 (D)75

分析:结合利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的解题步骤: 首先,设BB1a,AB2a由AB1ABBB1; A1

B1

C1

BC1BB1BC.则AB1BC1(ABBB1)(BB1BC)

ABBCABBB1BB1BB1BC2a2acos1200a2012a2a()0a20a2a202所以AB1BC1,即:AB1与C1B所成角的大小为90. 答案:B

【设计意图】通过此变式训练是让学生进一步明确异面直线夹角和向量的夹角的关系,选好基向量注重理论联系实际.

题型二:利用数量积求线段长度

例2.如图在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB4,AD3,AA15,BAD90,

2A

C

B

BAA1DAA160,求AC1. 分析:

要求AC1,即求AC1的模, 因此结合题中的条件用AB,AD,AA1,

表示AC1,即AC1ACAA1ABADAA1, 2所以求出|AC1|2(ABADAA1)即可. D1C1B1CA1DAB教师板书例题的求解过程:

因为AC1ACAA1ABADAA1,所以

|AC1|2(ABADAA1)2(ABADAA1)(ABADAA1)ABADAA12(ABADABAA1ADAA1)4232522(0107.5)85所以AC185,即AC185

【设计意图】例2主要向学生讲述怎么借助已知条件把线段的长转化为求向量的模,这是对数量积的定义22及性质进行了拓展,在难度和运算量上都有了提升.在解决此问题时应注意a|a|和[0,]. 222

方法小结:由于线段与角是构成几何图形的基本元素,故求线段的长度是一种常见题型,其主要方法有: (1)几何法:如解三角形求线段的长度是一种常见题型,本题也可构造以AC1为边的三角形求解求. (2)向量法:即将求线段长度转化为求向量的模,一般先将未知向量用已知向量(模、夹角都知道)表示,通过

已知向量的运算求解.

(3)代数法:即坐标法,利用距离公式求解. 变式训练2:已知二面角l的大小为若ABBDCD2,求线段AC的长. 分析:由ABl,CDl,所以,即AB,DC2,AB,CD,且ABl,CDl,垂足分别为B,D.332. 3又由ACABBDDC,所以AC(ABBDDC)2



l

B

C

D

ABBDDC2(ABBDABDCBDDC)222222222cos120408所以|AC|22,即线段AC的长为22. 2222222cos2222cos

32

A

【设计意图】本题主要想让学生注意二面角的平面角与向量的夹角的关系,这是一个难点,教师应充分考虑学生的基础进行引导讲解. 题型三:利用数量积证明垂直关系

l

例3.如图m,n是平面内的两条相交直线.如果lm,ln,求证:l. l

分析:要证l,就要证明l垂直于内的任意一条直线g(直线和平面垂直的定义)

如果我们能在g和m,n中建立一种关系,并由lm,ln,.得到

n

g

m

g

lg,就能解决此问题. 教师板书例题的求解过程:

在内任作一条直线g,分别在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g

m



n

因为m,n相交,所以向量m,n不平行,由向量共面的充要条件知,存在唯一实数对(x,y),使g=xmyn, 所以lg=xlmyln. 因为lm=0,ln=0,所以lg=0.lg,即lg

这就证明了直线l垂直于平面内的任意一条直线,所以l. 【设计意图】结合课本例题,选择作为例3,让学生进一步感受空间向量在解决立体几何中的作用. 变式训练2:已知空间四边形ABCD中, ABCD,ACBD,求证ADBC. 分析:因为ABCD,ACBD, 所以ABCD0,ACBD0.

DAC

B

所以ADBC(ABBD)(ACAB)ABACABBDACBDAB22ABACABBDABAB(ACABBD)ABDC0

所以,ADBC,从而ADBC. 【设计意图】用向量解几何题的一般方法：把线段转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算来计算或证明. 五、课堂小结

1．知识：①

掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式.

②

运用公式解决立体几何中夹角、距离(模)、垂直等的有关问题. 2．思想：①

比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

②

探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力.

③通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识. 【设计意图】让学生进一步巩固所学知识,与前面的学习目标呼应,同时应加强对学生在数学知识与思想方法的指导.

六、布置作业

必做题：1.已知|a|=13，|b|=19，|a+b|=24，求|a-b|. 2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,求BC1与AC夹角的大小. A1

3.如右图在正三棱柱ABCA1B1C1中,底面边长为2. (1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1; (2)设AB1,BC1的夹角为必做题答案：1.C1

B1

，求侧棱长. 3A

C

; 2.22 ; 3. (2)2

3B

选做题：1.在平行四边形ABCD中, ABAC1,ACD90,沿着它的对角线AC,将ACD折起,使AB,CD成60的角,求此时BD的长.

D

A

D

A

C

A

C

B

2.

设A,B,C,D为空间不共面的四点，且满足ABAC0,ADAC0,ABAD0,

试判断ΔABC的形状. ABCD是边长为a的正方形,侧棱3.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面AA1b,BAA1DAA1120. 求(1) AC1的长

(2)异面直线BD1与AC所成的角的余弦值. 选做题答案：1.2或2, 2.

锐角三角形

D1C1A1DB1Cb4a22b23. (1) AC12a2abb (2)

224a2b22AB【设计意图】通过设计不同层次的作业既能让学生掌握基础知识,又能使学有余力的学生有所提高,从而达到激发学生学习兴趣和“减负”的目的. 七、教后反思

1.本教案的亮点是在教学过程中始终是教师作为引导者，引导学生去利用平面向量的数量积的定义、性质，类比、归纳得到数量积的概念，在此基础上进一步探究数量积的性质和运算律，使学生逐步加深对概念的理解.在教学中要明确要求学生用向量的方法解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.通过例题的讲述,变式训练的加强,作业的巩固大部分同学已经能掌握数量积的概念、性质和运算律. 2. 本节课在设计和教学过程中，留下了一些遗憾:想让学生了解的内容过多,而对学生的估计不足,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程. 由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但学生习惯用非向量的方法解决立体几何中证明垂直问题以及求两条直线的夹角和两点间的距离问题,教师在教学中根据题目的实际情况进行选择,进一步体现这两种方法的有效性. 八、

板书设计

3.1.3空间向量的数量积运算

一、引入新课

二、探究新知

1.数量积的定义: 2.数量积的几何意义:

3.探究数量积的性质: 4.探究数量积的运算律: 三、理解新知：

四、运用新知

例1: 变式训练1:

例2: 变式训练2: 例3: 五、课堂小结

1．知识：

2．思想：

六、布置作业 必做题： 1. 2. 3. 选做题： 1. 2.

3.