小结教案范文

导数的应用——单调性

复习目标：

1.了解函数单调性和导数的关系；

2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). [知识梳理] 1．函数的单调性与导数的关系

大于0f(x)在（a,b）内单调递增；a,b内，f’x在区间等于0f(x)在（a,b）为常函数；

小于0f(x)在(a,b)内单调递减。[温馨提示]

(1)求函数f(x)的单调区间，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但单调区间不能脱离函数定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．如：函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间为__________ (2)单调区间不能用“∪”连接，可用“，”隔开或用“和”连接．

2．用充分必要条件来诠释导数与函数单调性的关系

(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的__________条件；

(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的__________条件(f′(x)＝0不恒成立)．

[温馨提示]

由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．必要时还需对“＝”进行检验．如：函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为____________

提示：f′(x)＝3x2＋a，则3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立，所以a≥－3，且a＝－3时，f′(x)不恒为0.

考点一

求函数的单调区间

例：(2016·北京卷)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4. (1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤

第一步：确定函数f(x)的定义域．

第二步：求导数f′(x)．

第三步：在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(不易求解时可再构造函数，判断其正负) 第四步：根据第三步的结果确定函数f(x)的单调区间．

跟踪训练：(2017·南昌模拟)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1, f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．

(1)确定a的值；

(2)求函数f(x)的单调区间．

考点二：利用函数的单调性求参数取值范围

13a2

设函数f(x)＝3x－2x＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值；

(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；

(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

已知函数单调性，求参数范围的两个方法：

①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．

②转化为不等式的恒成立问题来求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．

12跟踪训练：若f(x)＝－2x＋mlnx在[1，＋∞)是减函数，则实数m的取值范围是________．

考点三

讨论函数的单调性

(2017·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x.讨论f(x)的单调性．

能力提升

已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-∞,0］上单调递减,在［0,+∞)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.