2.3 抛物线（通用）优秀教学设计

2. 3.1 抛物线及其标准方程

一、学习目标

1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程

2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程

3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

二、学习重点

抛物线的定义及标准方程

三、学习难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）

四、学习过程

（一）复习旧知

在初中，我们学习过了二次函数yax2bxc，知道二次函数的图象是一条抛物线

例如：（1）y4x2，（2）y4x2的图象（自己画出函数图像）

（二）学习新课

1.抛物线的定义

探究1观察抛物线的作图过程，探究抛物线的定义：

抛物线的定义：

思考：若F在l上呢？（学生思考、讨论、画图）

2.抛物线的标准方程

要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系. 探究2 设焦点F到准线l的距离为p(p0)，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程. 讨论：小组讨论建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？

推导过程：

我们把方程y2px(p0)叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是2ppx，准线方程是。

,022在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：

（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

1

(三)例题

例1（1）已知抛物线的标准方程是y6x，求它的焦点坐标和准线方程,

（2）已知抛物线的焦点是F0,2，求它的标准方程. 解：

变式训练1：

(1)

已知抛物线的准线方程是x=—1，求它的标准方程. 42(2)

已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.

解：

例2

点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程. 解：

变式训练2：

在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小. 解：

(四)小结

1、抛物线的定义；

2、抛物线的四种标准方程；

3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义. (五)课后练习

2

1.抛物线y2=ax(a≠0)的准线方程是

(

)

aa|a||a|；(B)x=；(C)x

；(D)x=

444412x（m≠0）的焦点坐标是（

）

2.抛物线ymmmm(A) （0，）或（0，）；(B) （0，）

444111(C) （0，）或（0，）；(D) （0，）

4m4m4m(A)x3.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(0,3)，(2)焦点到准线的距离是2. 4.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2=20x；(2)x2+8y=0. 5.点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程.

3

2.3.1 抛物线及其标准方程

一、教学目标

1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程

2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程

3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想

二、教学重点

抛物线的定义及标准方程

三、教学难点

抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）

四、教学过程

（一）复习旧知

在初中，我们学习过了二次函数yax2bxc，知道二次函数的图象是一条抛物线

例如：（1）y4x2，（2）y4x2的图象（展示两个函数图象）：

（二）讲授新课

1.课题引入

在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？

这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题§2.4.1 抛物线及其标准方程）

2.抛物线的定义

信息技术应用（课堂中展示画图过程）

先看一个实验：

如图：点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MHl，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）

可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线l的距离相等。（也可以用几何画板度量|MH|，|MF|的值）

（定义引入）：

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.（板书）

4

思考？若F在l上呢？（学生思考、讨论、画图）

此时退化为过F点且与直线

l

垂直的一条直线. 3.抛物线的标准方程

从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点Mx,y满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等。那么动点Mx,y的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？

要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系. 问题

设焦点F到准线l的距离为p(p0)，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.

（引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）

1 2 3

y22pxp2(p0)

y22pxp2(p0)

y22px(p0)

注意：1.标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。

2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算

3.强调P的意义。

4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解x,y为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程. （选择标准方程）

师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？

（学生选择，说明1.对称轴

2.焦点

3.方程无常数项，顶点在原点）

推导过程：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（p2pp,0）,l的方程为x=—. 22p

2设动点M（x,y），由抛物线定义得：(x)2y2x化简得y=2px(p＞0)

2师：我们把方程y2px(p0)叫做抛物线的标准方程，它表示的2

5

抛物线的焦点坐标是pp,0，准线方程是x。

22师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：

（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）

图形

标准方程

y2=2px(p＞0) 焦点坐标

（p,0）

2准线方程

x=—p

2

y2=—2px(p＞0) （—p,0）

2x=p

2

x2=2py(p＞0) （0,p）

2y=—p

2

x2=—2py(p＞0) （0,—p）

2y=p

2

(三)例题讲解

例1（1）已知抛物线的标准方程是y6x，求它的焦点坐标和准线方程,

（2）已知抛物线的焦点是F0,2，求它的标准方程. 解：（1）∵抛物线方程为y2=6x

∴p=3，则焦点坐标是（33，0），准线方程是x=—. 22p=2，∴p=4 22（2）∵焦点在y轴的负半轴上，且则所求抛物线的标准方程是：x=—8y.

变式训练1：

(1)

已知抛物线的准线方程是x=—21，求它的标准方程. 4(2)

已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.

解(1)∵焦点是F（0，3），∴抛物线开口向上，且p=3，则p=6 2

6

∴所求抛物线方程是x2=12y

(2)∵抛物线方程是2y2+5x=0，即y2=—55x，∴p=

2455则焦点坐标是F(—,0)，准线方程是x=

88例2

点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程. 解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y) 由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线. ∵p=4，∴p=8 2因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x. 变式训练2：

在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小. 解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ| 由抛物线定义可知：|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA| 显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2 故点P的坐标为（2，2）. (四)小结

1、抛物线的定义；

2、抛物线的四种标准方程；

3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义. (五)课后练习

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