3.1.3 导数的几何意义教案3

3．1.3 导数的几何意义

河北滦南县第二高级中学 王丽芹

一、导数的几何意义

[提出问题] 如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3，4，…)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线．

问题1：割线PPn的斜率kn是什么？

Δynf提示：割线PPn的斜率kn＝＝Δxnxn－fx0. xn－x0问题2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？

提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT. 问题3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？

提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k. 问题4：如何求得过点P的切线PT的斜率？

lim

提示：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝Δx→0fx0＋Δx－fx0＝f′(x0)．

Δx[导入新知] 导数的几何意义

lim

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝Δx→0fx0＋Δx－fx0. Δx[化解疑难] 曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率. 导函数

1

[提出问题] 已知函数f(x)＝－x＋2. 问题1：如何求f′(x0)? 提示：f′(x0)＝Δx→0lim

－2x0＋Δx2＋2－－x0＋Δx2

lim

(－2x0－Δx)＝－2x0. ＝Δx→0问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？

提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．

[导入新知] 导函数的定义

对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个确定的数，当x变化时，f′(x) 便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝

Δx→0lim

fx＋Δx－fx. Δx[化解疑难] 函数y＝f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系

(1)函数在点x0处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．

(2)导函数也简称导数，所以

“导数” f(x)在一点x0处的导数(特殊)导函数(一般) (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．

二、例题题型

曲线的切线方程

1[例1] 若函数f(x)＝x－，求它与x轴交点处的切线方程．

x1[解] 由f(x)＝x－＝0，得x＝±1，

x即与x轴的交点坐标为(1,0)，(－1,0)．

x＋Δx－－x＋x＋Δxxlim

∵f′(x)＝Δ

x→0Δxlim

1＋＝Δx→011x1＝1＋1，

x＋Δxx21∴切线的斜率k＝1＋＝2. 1

2

∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)，

即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0. [类题通法] 求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤

(1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，得到切线的斜率k＝f′(x0)．

(2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

[活学活用] 已知曲线y＝3x，求过点A(1,3)的曲线的切线方程．

Δy解:∵＝Δx1＋Δx－3×1＝6＋3Δx，

Δx222∴y′|x＝1＝Δlim (6＋3Δx)＝6. x→0∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6. ∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，

求切点坐标

即6x－y－3＝0. [例2] 已知抛物线y＝2x＋1，问：

(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？

(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0? [解] 设点的坐标为(x0，y0)，则

Δy＝2(x0＋Δx)＋1－2x0－1＝4x0Δx＋2(Δx). ∴Δy＝4x0＋2Δx. Δx2222Δy当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0，

Δx即f′(x0)＝4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，

∴斜率为tan 45°＝1，

1即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝，

419该点为，. 48(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，

∴斜率为4，

即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．

3

(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，

∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，

得x0＝2，该点为(2,9)．

[类题通法] 求曲线切点坐标的五个步骤

(1)先设切点坐标(x0，y0)；

(2)求导数f′(x)；

(3)求切线的斜率f′(x0)；

(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0；

(5)由于点(x0，y0)在曲线f(x)上，将(x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0)．

[活学活用] 已知曲线y＝2x＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标和实数a的值．

解：设切点P的坐标为(x0，y0)，切线斜率为k. Δy由y′＝Δlim

x→0Δx＝Δlim

x→02x＋Δx2＋a]－Δxx2＋a

＝Δlim (4x＋2Δx) x→0＝4x，

得k＝y′|x＝x0＝4x0. 根据题意得4x0＝8，x0＝2，

分别代入y＝2x＋a和y＝8x－15，

得y0＝8＋a＝1，

a＝－7，得y0＝1.2

故所求切点为P(2,1)，a＝－7. 导数几何意义的综合应用

[例3] 设函数f(x)

＝x＋ax－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

[解] ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝(x0＋Δx)＋a(x0＋Δx)－9(x0＋Δx)－1－(x0＋ax0－9x0－1) ＝(3x0＋2ax0－9)Δx＋(3x0＋a)(Δx)＋(Δx)，

∴

223323232Δy22＝3x0＋2ax0－9＋(3x0＋a)Δx＋(Δx). Δx4

lim

Δy＝3x20＋2ax0－9，

Δx→0Δxa2a即f′(x0)＝3x＋2ax0－9＝3x0＋－9－. 33202当x0＝－时，f′(x0)取最小值－9－. 33∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，

∴该切线斜率为－12.∴－9－＝－12. 3解得a＝±3.又a<0，∴a＝－3. [类题通法] 解决导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如斜率的值、斜率的最值、斜率的范围等建立方程或不等式求解．此处常与函数、不等式等知识点结合．

[活学活用] 已知抛物线y＝x，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．

解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．设切点坐标为(x0，x0)，

lim

x0＋Δx则y′|x＝x0＝Δx→0Δx2222aa2a2－x02＝2x0＝1，

111所以x0＝，所以切点坐标为，. 224切点到直线x－y－2＝0的距离为

d＝1－1－224722＝8，

72所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为

8

7.导数的几何意义理解的误区

[典例] 已知曲线y＝2x－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程．

lim

Δy

[解]

y′＝Δx→0Δx＝lim

Δx→02x＋Δx2－7]－Δxx2－

lim

(4x＋2Δx)＝4x. ＝Δx→0由于2×3－7＝11≠9，

2

5

故点P(3,9)不在曲线上．

设所求切线的切点为A(x0，y0)，

则切线的斜率为k＝4x0，

故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．

将P(3,9)及y0＝2x0－7代入上式，

得9－(2x0－7)＝4x0(3－x0)，

解得x0＝2或x0＝4，

所以切点为(2,1)或(4,25)．

从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. [易错防范] 1．解答本题误认为切线斜率k＝f′(3)．因点P(3,9)不在曲线上，从而点P不是切点，故切线斜率不是在x＝3处的导数．

2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上．

3．如果已知点不在曲线上，求曲线的切线方程，要先设出切点的坐标，再根据导数的定义求出切点处的导数，最后求出切线的直线方程．

[成功破障] 1求经过点(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程．

22x11－x0＋Δxx0[解] 可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由y′|x＝x0＝Δlim

x→0Δx＝Δlim

x→0Δx＝Δlim

x→0－Δxx0＋Δxx0

x0－11＝－2，

x0＋Δxx01故所求直线方程为y－y0＝－2(x－x0)，

x0由点(2,0)在所求的直线上，

得x0y0＝2－x0，

1再由P(x0，y0)在曲线y＝上，

2x得x0y0＝1，

联立可解得：x0＝1，y0＝1，

所以直线方程为x＋y－2＝0.

6

[随堂即时演练] 1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(

) A．不存在

C．与x轴垂直 B．与x轴平行或重合

D．与x轴斜交

解析：选B f′(x0)＝0，说明曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以与x轴平行或重合．

π22．在曲线y＝x上切线倾斜角为的点是(

) 4A．(0,0) B．(2,4) 11C.， 416解析：选D ∵y＝x，

lim

Δy

∴k＝y′＝Δx→0Δx22x＋Δx－xlim

＝Δ

x→0Δx211D.，

24lim

(2x＋Δx)＝2x，

＝Δx→0π∴2x＝tan＝1，

411∴x＝，则y＝. 24

3．对于函数f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝____________. lim

a解析：因为f′(x0)＝Δx→0x0＋Δx＋4－ax0－4＝a，

Δxf′(1)＝2，所以a＝2. 答案：2 4．设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且f′(x0)＞0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的倾斜角的范围是________．

解析：已知f′(x0)＞0，设切线的倾斜角为α，

则tan α＞0.又α∈[0，π)，

π所以α∈0，. 2π答案：0，

25．在抛物线y＝x上求一点P，使在该点处的切线垂直于直线2x－6y＋5＝0. 2

7

解：设点P的坐标为(x0，y0)，

则抛物线y＝x2在点P处的切线斜率为

2f′(x＝lim

x0＋Δx－x200)Δx→0Δx＝2x0. 直线2x－6y＋5＝0的斜率为13. 由题设知2x10·3＝－1，

解得x390＝－2，此时y0＝4，

所以点P的坐标为39－2，4. 8