1.1.3 四种命题间的相互关系新颖的课程导入教案

1.1.3

四种命题间的相互关系

邵阳县第四中学数学备课组：刘军

学习目标

1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题.2.理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假．

知识点一

四种命题的概念

思考

分析下列四个命题，请指出命题(1)的条件和结论分别与其它三个命题的条件和结论间的关系．

(1)若α＝β，则sin α＝sin β；

(2)若sin α＝sin β，则α＝β；

(3)若α≠β，则sin α≠sin β；

(4)若sin α≠sin β，则α≠β. 答案

命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．

梳理

(1)四种命题的概念

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(2)四种命题结构

知识点二

四种命题之间的相互关系

知识点三

四种命题的真假性之间的关系

思考

如果原命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题一定是真命题吗？

答案

原命题是真命题，其逆否命题一定是真命题；

而逆命题、否命题不一定是真命题．

梳理

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1．任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．(

√

) 2．两个互逆命题的真假性相同．(

×

) 3．四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(

√

)

类型一

四种命题的概念

命题角度1

四种命题的概念

例1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)若x∈A，则x∈(A∪B)；

(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；

(3)在△ABC中，若a>b，则A>B. 考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

解

(1)逆命题：若x∈(A∪B)，则x∈A. 否命题：若x∉A，则x∉(A∪B)．

逆否命题：若x∉(A∪B)，则x∉A. (2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．

否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．

逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．

(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.

否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B. 逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b. 反思与感悟

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．

跟踪训练1

命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(

) A．若loga2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

答案

B 解析

直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．

命题角度2

四种命题的相互关系

例2

若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是(

) A．互为逆命题

B．互为否命题

C．互为逆否命题

D．同一命题

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

B 解析

已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．

命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，

命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，

∴r是p的逆否命题，

∴r是p的逆命题的否命题，故选B. 反思与感悟

判断四种命题之间四种关系的两种方法

(1)利用四种命题的定义判断．

(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是

互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．

跟踪训练2

已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2 解析

由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．

类型二

四种命题的真假判断

例3

下列命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．

其中是真命题的是________．

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

①②③

解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．故填①②③. 反思与感悟

要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

跟踪训练3

下列命题为真命题的是(

) ①“正三角形都相似”的逆命题；

②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；

③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．

A．①②③

C．①②

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

B 解析

①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”．∵方程无实根，∴判B．②③

D．①③

别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题．③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”．∵x不是无理数，∴x是有理数．又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题．正确的命题为②③，故选B. 类型三

等价命题的应用

例4

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

考点

四种命题的相互关系

题点

逆否证法

解

方法一

原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：

二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，

令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，

则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0，

即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．

方法二

利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．

因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

7即4a－7≥0，解得a≥>1，

4所以原命题为真，故其逆否命题为真．

引申探究

7判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”4的逆否命题的真假．

解

先判断原命题的真假如下：

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，

所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，

7所以a<. 4所以原命题是真命题．

因为互为逆否命题的两个命题同真同假，

所以原命题的逆否命题为真命题．

反思与感悟

(1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，

来间接地证明原命题为真(假)命题．

(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．

跟踪训练4

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. 考点

四种命题的相互关系

题点

逆否证法

证明

命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若

4b2－2a＋1＝0”．

由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证．

a＝2b＋1，则a2－

1. 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(

) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0 C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0 考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

答案

D 解析

原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．

∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．

2．下命题中为真命题的是(

) A．命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题

B．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

C．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

πD．命题“若tan x＝3，则x＝”的逆否命题

3考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

C 解析

对于A，命题“若a，b都大于0，则ab>0”的逆命题是“若ab>0，则a，b都大于0”，是假命题，如a，b都为负数时ab>0也成立；对于B，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的

否命题是“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，是假命题，如x＝－2；对于C，命题“若x>y，则πx>|y|”的逆命题是“若x>|y|，则x>y”，是真命题；对于D，命题“若tan x＝3，则x＝”3是假命题，故其逆否命题也是假命题．故选C. 3．给出以下四个命题：

①若ab≤0，则a≤0或b≤0；

②若a>b，则am2>bm2；

③在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B；

④在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．

其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是(

) A．①

C．③

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

C 解析

对于①，原命题：若ab≤0，则a≤0或b≤0，是真命题；逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0，是假命题；否命题：若ab>0，则a>0且b>0，是假命题；逆否命题：若a>0且b>0，则ab>0，是真命题．对于②，原命题：若a>b，则am2>bm2，是假命题；逆命题：若am2>bm2，则a>b，是真命题；否命题：若a≤b，则am2≤bm2，是真命题；逆否命题：若am2≤bm2，则a≤b，是假命题．对于③，原命题：在△ABC中，若sin A＝sin B，则A＝B，是真命题；逆命题：在△ABC中，若A＝B，则sin A＝sin B，是真命题；否命题：在△ABC中，若sin A≠sin B，则A≠B，是真命题；逆否命题：在△ABC中，若A≠B，则sin A≠sin B，是真命题．对于④，原命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根，是假命题；逆命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若方程有实数根，则b2－4ac<0，是假命题；否命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac≥0，则方程无实数根，是假命题；逆否命题：在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若方程无实数根，则b2－4ac≥0，是假命题．综上，以上命题中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是③.故选C. 4．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；

③正方形的四条边相等；

④圆内接四边形对角互补；

⑤对角不互补的四边形不内接于圆；

⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

B．②

D．④

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

②和④，③和⑥

①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤

解析

命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．

5．已知命题“若m－1

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

[1,2] 解析

命题：“若m－1

m－1≤1，∴由得1≤m≤2. m＋1≥2，

1．写四种命题可以按以下步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q. (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q. (3)按照四种命题的结构写出所有命题．

2．判断命题的真假可以根据互为逆否命题的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

一、选择题

11．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是(

) 21A．若a2＋b2<，则a＋b≠1 21B．若a＋b＝1，则a2＋b2<

21C．若a＋b≠1，则a2＋b2<

21D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1 2

考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

答案

C 11解析

“a＋b＝1”，“a2＋b2≥”的否定分别是“a＋b≠1”，“a2＋b2<”，故否命题为221“若a＋b≠1，则a2＋b2<”．

22．命题“若(綈p)，则q”的逆否命题为(

) A．若p，则(綈q)

C．若(綈q)，则p

考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

答案

C 3．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的(

) A．逆命题

C．逆否命题

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

A 4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(

) A．互逆命题

C．互为逆否命题

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

A 解析

设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．

5．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题为(

) A．①②

C．①③

B．②③

D．③④

B．互否命题

D．以上都不正确

B．否命题

D．无关命题

B．若(綈q)，则(綈p) D．若q，则p

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

C 解析

命题①：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”是真命题，则其逆否命题也为真命题；命题④是假命题．

6．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(

) A．0

B．1

C．2

D．3 考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

B 解析

命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．

该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B. 7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的(

) A．逆否命题

C．否命题

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

C 解析

特例：p：△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；

r：△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；

s：△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；

t：△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B. 8．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是(

) A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

A B．逆命题

D．原命题

解析

因为原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a，b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例如a＝1.2，b＝0.3. 二、填空题

9．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________．

考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

答案

若x，y不全为零，则xy≠0 解析

由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”．

10．命题“已知不共线向量e1，e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为______________，是________命题(填“真”或“假”)．

考点

四种命题的相互关系

题点

逆否证法

答案

已知不共线向量e1，e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0

真

11．给定下列命题：

①“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”的逆否命题；

②“等腰三角形都相似”的逆命题；

3③“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题；

2④“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题．

其中真命题的序号是________．

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

①

3解析

显然①为真；②为假；对于③中，原命题“若x－是有理数，则x是无理数”为假命2题，所以其逆否命题为假命题；对于④中，“若a>1且b>1，则a＋b>2”的否命题是“若a≤1或b≤1，则a＋b≤2”为假命题．

12．命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

1

解析

a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0化简得(a＋b－1)(a＋b＋2)≠0，即a＋b≠1且a＋b≠－2. 命题“如果a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0，那么a＋b≠1”的逆命题为“如果a＋b≠1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2≠0”，为假命题，a＋b＝－2也可以使a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0；否命题与逆命题同真同假，故其否命题为假命题；逆否命题为“如果a＋b＝1，那么a2＋2ab＋b2＋a＋b－2＝0”，真命题．

三、解答题

13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

考点

四种命题的相互关系

题点

逆否证法

解

方法一

(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，

因为b≤－1，所以Δ≥4>0，

故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二

(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．

方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，

因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

四、探究与拓展

an＋an＋114．原命题为“若

) A．真，真，真

C．真，真，假

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

A 解析

an＋an＋1

2B．假，假，真

D．假，假，假

原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A. 15．设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 考点

四种命题的相互关系

题点

逆否证法

证明

将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，

则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

11因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2. 22所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．