1.2.1 充分条件与必要条件国家获奖教案

§1. 2 .2 充分条件和必要条件

【学情分析】：

上一节课已学习了充分条件、必要条件、充要条件的概念,本一节课要继续通过讨论一些数学命题加深对以上定义的理解.若要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性．由于原命题

逆否命题，逆命题

否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立．

【教学目标】：

（1）知识目标：

理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；掌握判断命题的条件的充要性的方法；

（2）过程与方法目标：

在充要条件的教学中，培养等价转化思想．

（3）情感与能力目标：

利用命题的等价性，培养他们的分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力。

【教学重点】：

理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．

【教学难点】：

命题条件的充要性探求（较高要求）

【教学过程设计】：

教学环节

①若

②若

一、复习

回顾

③若

④若

⑤若

，但

，但

，且

，且

，且

教学活动

，则

是

的_____________条件；

，则

，则

是

的___________条件；

是

的_________条件；

是

的______条件

设计意图

，则

，则

是

复习并巩固充分条件、必要条件、充要条件的概念；

的_____________条件

1．若A,B都是C的充要条件，D是A的必要条件，B是D的必要条件，则D是C的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．已知A和B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的二、学生

条件

，A是B的

条件

活动

3．（1）若p:x1,q:x4，则p是q的

条件；

（2）若p:进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；

xy4,x2,则q是p的

条件；

q:xy4,y2,

- 1 -

例1、已知p：xy2；q：x、y不都是1，p是q的什么条件？

分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性；从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性

“若p则q”的逆否命题是“若x、y都是1，则xy2”真的

“若q则p”的逆否命题是“若xy2，则x、y都是1”假的

故p是q的充分不必要条件

练习：已知p：x2y2；

q：xy；p是q的什么条件？

例2、

已知

是

：

；：

的必要而不充分条件，求实数

．若

的取值范围．

点拨

可以有两个思路：

（1）先求出

和

，然后根据

，

，求得

引导学会逆向思考，引导学生对于正面较为断抽象的命题是否能用逆否命题的正难则反的方法。

的取值范围；

三、典型

（2）若原命题为“若

例题

，则

”，其逆否命题是“若

是

则

”，由于它们是等价的，可以把求

等价转换为求

的必要而不充分条件是

的充分而不必要条件．

解法一

求出

：

或

，

．由

它等价于

是

：

或

的必要而不充分条件，知B

A，

同样解得

的取值范围是

．

- 2 -

解法二

根据思路二，

于

是

的必要而不充分条件，等价是

的充分而不必要条件．设

：

；

：

；

所以，A

B，它等价于

同样解得

的取值范围是

．

要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立．

巩固知识，培养技能. 通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。

采取师生互动的形式完成。

例3已知：O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l和O相切的充要条件。

四、体验与

运用

练习：求证：ABC是等边三角形的充要条件是a2b2c2abbcac，这里a,b,c是ABC的三条边。 例4；求关于x的方程(1m)x2(m2)x40(mR)有两个正五：学生探究

根的充要条件． 练习：设关于

成立，求

的一元二次不等式，

对一切实数均的取值范围．

六、小结与反思

1．

充要条件的判断,重在“从定义出发”,利用命题“若p则q”的真假进行区分, 2．

充要条件的判断,有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．若pq,则p是q的必要条件,q是p的充分条件．

- 3 -

课后练习

331、ab是ab的（

）

A.充分不必要条件，

B.必要不充分条件，

C.充要条件，

D.既不充分又不必要条件。

2．

“xy＞0”是“｜x+y｜=｜x｜+｜y｜”的( ) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

3．“A∩B=A”是A=B的( ) A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4、xy，ab是xy的（

）

ab

A.充分不必要条件，

B.必要不充分条件，

C.充要条件，

D.既不充分又不必要条件。

5、log3x22是log3x1成立的（

）

A.充分不必要条件，

B.必要不充分条件，

C.充要条件，

D.既不充分又不必要条件。

6、已知p：2x31，q：10，则p 是q的（

）

x2x6

A.充分不必要条件，

B.必要不充分条件，

C.充要条件，

D.既不充分又不必要条件。

7．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

8．

“m=

1”的

2

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的

(

) 2

（A）充分必要条件

（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件

（D）既不充分也不必要条件

9．在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：

如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；

如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；

如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；

如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的

条件；

210．抛物线y=ax+bx+c (a≠0)的对称轴为x=2的充要条件是______________; 11．判断下列各题中条件是结论的什么条件：

2(1)条件A∶ax+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；

(2)条件p∶AB，结论q∶A∪B=B. 212．试寻求关于x的方程x+mx+n=0有两个小于1的正根的一个充要条件. 参考答案：

- 4 -

1．

C

2．A

3．B

4．D

5．B

6．

B

7.B

8.

B; 9．图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；

图(3)：充要条件； 图(4)：既不充分也不必要条件. 10．4a+b=0

211．解：(1)∵△=a-4a＜0，即0＜a＜4 2∴当0＜a＜4时，ax+ax+1＞0恒成立.故BA. 2而当a=0时，ax+ax+1＞0恒成立，∴AB. 故A为B的必要不充分条件. (2)∵ABA∪B=B，而当A=B时，A∪B=B，即qp，

∴p为q的充分不必要条件. 212．解法1：关于x的方程x+mx+n=0有两个小于1的正根方程在(0，1)内有实根022m4n0m4n0m2m02m001. 2n00n1f(0)01mn01mn0f(1)0解法2：

0m24n0m24n0xx0122m02m0在(0，1)内有实根x1x20. n00n1(x1)(x1)0211mn01mn0(x1)(x1)021

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