习题2.1板书设计及意图

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《曲线与方程》习题教学

一.教材分析

1.教材的地位和作用

本节内容揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，体现了解析几何这门课的基本思想——数形结合思想，对解析几何教学有着指导性的意义．其中，对曲线的方程和方程的曲线从概念上进行明确界定，是解析几何中数与形互化的理论基础和操作依据．《曲线与方程》作为《圆锥曲线与方程》的第一节，一方面，该部分内容是建立在学生学习了直线的方程和圆的方程的基础上对曲线与方程关系认识的一次飞跃；另一方面，它也为下一步学习圆锥曲线方程奠定了模型的基础．因此，它在高中解析几何学习中起着承前启后的关键作用．

2. 教材的内容安排和处理

本课的教学是结合已学曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步理解数形结合的基本思想．具体目标如下：

1．通过探究“以方程的解为坐标的点”汇集的图形，感知并归纳概括曲线与方程的对应关系；

2．进一步理解方程的曲线与曲线的方程的含义；

3．能使用曲线的方程（方程的曲线）的概念判断曲线与方程的对应关系，继续理解数形结合思想．

二. 学情分析

学生已经对“用方程表示直线、圆”有着感性的认知基础，能够根据直线的方程、圆的方程作对应的图形，并对数形结合思想有初步的了解．但是从直线与方程、圆与方程到曲线与方程的对应关系是一次从感性认识到理性认识的“飞跃”，由于大多数学生对“生活中其他的曲线是否能用、如何使用方程表示”这些问题还未曾有过思考，加之曲线的方程（方程的曲线）这一组概念有着较高的抽象性，所以预计在本课的学习中，学生可能出现以下困难：

（1）作图探究结束后，学生独立地归纳概括并写出曲线的方程（方程的曲线）的概念时不规范，不全面； （2）难以理解

“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这两句话在揭示“曲线与方程”的关系时各自所起的作用．

（3）通过习题课，让学生在抽象概括能力和语言的规范表达上还有待进一步提升．

三. 重难点

重点：曲线的方程（方程的曲线）的概念理解

难点：曲线的方程（方程的曲线）概念的理解和应用

2．教学策略与教法、学法

本课采取“启发诱导式”教学模式．

教师的教法注重活动的安排和问题的引导，通过学生的参与进一步理解曲线的方程（方程的曲线）的概念，利用曲线与方程的概念的理解，经历由形到数,由数到形，的思想跨越，感知用代数的方法探究几何性质的过程，感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的数学真谛，进一步体会“数形结合”思想在数学中的重要地位。

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学生的学法注重独立探究、合作交流、归纳建构．

教具：多媒体PPT课件，三角板，彩色粉笔

学具：教材、草稿本、三角板、圆规、铅笔

情感、态度与价值观：

在自然和谐的教学氛围中，通过师生间的、生生间的平等交流，钻研探究的品质和态度，培养学生研究问题的技能；提高学生的分析问题能力..提高学生的解决问题能力.培养学生的数学修养.增强学生的数学素质.感受“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的数学真谛，进一步体会“数形结合”思想在数学中的重要地位。

四. 教学过程

教学内容教师复习概念

自我检测

核心突破评价课堂小结布置作业激励

生答生答指导●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］上节课，大家一起探讨了曲线的方程和方程的曲线的关系，下面请一位同学叙述一下，大家一起来回顾. ［生］（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）. 自我检测

1. 1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的( ) A．充分条件 B．必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．与y轴距离等于2的点的轨迹方程是( ) A．y＝2 B．y＝±2 C．x＝2 D．x＝±2 3．(2011·福建高考)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(

) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 1224．如果方程ax＋by＝4的曲线过A(0，－2)，B(，3)两点，则a＝________，2b＝________. 5．下列命题是否正确？若不正确，说明原因．

(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程是|x|＝2；

(2)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y＝x.

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Ⅱ.讲授新课

不难发现，利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把满足某种条件的点的集合或轨迹看成曲线，即用曲线上点的坐标（x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线.那么我们就可以通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质. ［师］下面我们首先讨论求曲线的方程. 类型一曲线的方程、方程的曲线的概念

[例1]“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的________条件．

[解]若曲线C的方程是f(x，y)＝0则满足定义中两条性质，故曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，反之不满足性质(2)故应当是必要不充分条件．

[答案]必要不充分

迁移体验1“点M在曲线y＝2x上”是“点M的坐标满足方程y＝2x”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

类型二由方程研究曲线

[例2](1)方程(x＋y－1)x－1＝0表示什么曲线？

(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？

[分析]为了判断方程表示什么曲线，当给出的方程不易看出是什么曲线时，需对原方程变形．

[解](1)由方程(x＋y－1)x－1＝0可得

x－1≥0x＋y－1＝0

x－1≥0或x－1＝0

. 即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，

表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．

(2)方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，

∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，

x－∴y＋22＝0＝0

x＝1，∴y＝－1

. ∴方程表示的图形是点A(1，－1)．

[点评]判断方程表示什么曲线，要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程的等价性，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．另外，变形的方法还有配方法、因式分解法等

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迁移体验2方程y＝|x|x2表示的曲线是( )

类型三点与曲线的关系

[例3]方程(x－4y－12)[log2(x＋2y)－3]＝0的曲线经过点A(0，－3)、B(0,4)、C(5，－734)、D(4,0)中的( ) A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

[解]由对数的真数大于0，得x＋2y>0，

∴A(0，－3)、C(53，－74)不符合要求；

将B(0,4)代入方程检验，符合要求；将D(4,0)代入方程检验，不符合要迁移体验3 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)、M2(－25，2)是否在这个圆上．

求．故选B. 类型四；曲线的交点问题

[例4]已知直线l：x＋y＝a及曲线C：x2＋y2－4x－4＝0.则实数a取何值时分别有一个交点，两个交点，无交点．

[解]联立方程，x+y＝a

x2＋y2 -4x-4＝0

，

消去y得2x2－(2a＋4)x＋a2－4＝0，

则Δ＝(2a＋4)2－8(a2－4) ＝－4a2＋16a＋48，

Δ＝0即a2－4a－12＝0得a＝6或a＝－2，

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此时有一解；

Δ>0即a2－4a－12<0得－2

此时有两解．

当Δ<0即a2－4a－12>0得a<－2或a>6. 综上所述，当a＝－2或a＝6时有一个交点；

当－2

当a<－2或a>6时无交点

[点评]1.两曲线的交点的个数的判断可以通过两曲线的方程联立求解来实现．方程组有几组解，则曲线就有几个交点．

2．若验证点是否在两曲线上，或点是否为两曲线的交点，则只需将点的坐标代入两方程看是否是两方程的解即可判断．

迁移体验4过曲线x2＋y2＝2和y＝x2交点的直线方程是( ) A．y＝－1 B．y＝－x C．y＝1 D．y＝x 22x＋y＝2解析：联立方程消去x得，

2y＝x

y2＋y－2＝0得y＝1或y＝－2(舍)，

此时x＝1或x＝－1，

∴交点为(1,1)和(－1,1)．

思

悟

升

华

1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否满足，并作出相应的回答即可．

2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．

3．求曲线C1与C2的交点坐标就是求由C1与C2的方程组成的方程组的解．

Ⅲ.课堂练习

［生］（板演练习）练习1、2. ［生甲］1.解：设点M（x,y)是到坐标原点的距离等于2的任意一点，则点M属于集合

P={M｜｜OM｜=2} ∴x2y2=2 即x2+y2=4 ①

(1)由求方程的过程可知，到坐标原点的距离等于2的点M的坐标都是方程22x+y=4的解. （2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，

即x12+y12=4 整理得y12=4-x12

点M1到坐标原点的距离为：

｜OM1｜=x12y12

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即｜OM1｜=2 ∴M1到坐标原点的距离为2，也就是说以方程x12+y12=4的解为坐标的点到坐标原点的距离为2. 由（1）、（2）可知，方程x2+y2=4是到坐标原点的距离等于2的点的轨迹方程. ［生乙］2.解：设点M的坐标为（x,y) 则，点M属于集合：

P={M｜｜y｜=｜MF｜} 即｜y｜=x2(y4)2

整理得：x2-8y+16=0. (1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；

（2）过点M1的坐标（x1,y1)是方程①的解，

那么，x12-8y1+16=0 即x12+(y12-8y1+16)=y12

x1(y14)2=｜y1｜

2而｜y1｜正是点M1到x轴的距离x1(y14)2正是点M1到点F（0，4）的距离. 因此点M1到x轴的距离和点M1与点F（0，4）的距离相等. 由（1）、（2）可知，x2-8y+16=0是到x轴的距离和到点F（0，4）距离相等的点的轨迹方程. Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要掌握求曲线（图形）的方程

（1）怎样求一些较复杂的曲线的方程？

（2）怎样通过曲线的方程求两条曲线的交点？

（一）课本P72习题7.6 3,4,5,6 （二）1.预习内容：课本P71～72. 2.预习提纲：

课后作业

一、选择题

1．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是( ) 2A．圆 B．两条直线

C．一个点 D．两个点

2．已知直线l：x＋y－3＝0和曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)满足( ) A．在直线l上，但不在曲线C上

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B．既在直线l上，也在曲线C上

C．既不在直线l上，也不在曲线C上

D．不在直线l上，但在曲线C上

3．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是( ) A．两条线段 B．两条直线

C．两条射线 D．一条射线和一条线段

4．以(5,0)和(0,5)为端点的线段的方程是( ) A．x＋y＝5 B．x＋y＝5(x≥0)

C．x＋y＝5(y≥0) D．x＋y＝5(0≤x≤5)

5．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是图中的( )

6．若曲线y＝x2－x＋2与直线y＝x＋m有两个交点，则( ) A．m∈R B．m∈(－∞，1) 二、填空题

7．若P(2，－3)在曲线x2－ay2＝1上，则a的值为________．

8．方程x2－y2＝0表示的图形是________．

9．曲线y＝|x|－1与x轴围成的图形的面积是________．

三、解答题

10．已知方程x2＋(y－1)2＝10.

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(1)判断P(1，－2)，Q(2，3)两点是否在此方程表示的曲线上；

m(2)若点M，－m在此方程表示的曲线上，求m的值．

211．求曲线x2－xy－y2－3x＋4y－4＝0与x轴的交点坐标．

12．求证：对任意m∈R，曲线mx－y－m＋1＝0和曲线(x－2)2＋y2＝4恒有交点．