1.1.3 四种命题间的相互关系优秀教学设计

命题及其关系

1．1.2 & 1.1.3

四种命题

四种命题间的相互关系

预习课本P4～8，思考并完成以下问题

1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？

2．什么样的两个命题有相同的真假性？

3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？

[新知初探]

1．原命题与逆命题

2．原命题与否命题

3．原命题与逆否命题

4．四种命题的真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性(

) (2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系(

) 答案：(1)√

(2)√

2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．若一个数是负数，则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数，则它是负数

C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数

D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

答案：B 3．命题“若x2>y2，则x>y”的否命题是_____________________________________．

答案：若x2≤y2，则x≤y

4．命题p：若a＝1，则a2＝1；命题q：若a2≠1，则a≠1，则命题p与q的关系是________．

答案：互为逆否命题

四种命题的概念

[典例]

把下列命题改写成“若p，则q”的形式，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)对顶角相等；

(2)全等三角形的对应边相等．

四种命题的转换方法

(1)逆命题：互换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

(2)否命题：同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

(3)逆否命题：互换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．

[注意]

四种命题转换时关键是把命题写成“若……则……”的形式．

[活学活用]

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.

[典例]

判断下列命题的真假．

(1)“正三角形都相似”的逆命题．

(2)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．

(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

[一题多变]

1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？

2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m>0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？

（点评）解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．

等价命题的应用

[典例]

证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. [证明]

法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a. 又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

即原命题的逆否命题为真命题．

∴原命题为真命题．

法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.

又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

∴f(a)

∴f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

“正难则反”的处理原则

(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．

(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．

[活学活用]

证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．

11由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，

22所以m2＋n2≠2. 故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．