3.1.2 导数的概念教学内容概述

3.1.2导数的概念教学设计

一、目标分析

依据教材结构与内容，并结合学生实际，特确定以下知、能、情教学目标：

（1）知识与能力目标：理解导数的概念，探求导数的几何意义，培养学生运用极限思想去思考问题的能力以及建立数学模型的能力。b5E2RGbCAP （2）过程与方法目标：通过实例引入、师生共同探究，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生逻辑思维和抽象概括能力。p1EanqFDPw （3）情感态度与价值观目标：通过导数的学习拓宽学生的视野，提升学生思考问题的广度和深度，让学生学会自主学习与相互交流学习，激发学生学习数学的热情。DXDiTa9E3d 二、教学重点

理解导数的概念

教学难点

运用极限的思想抽象出导数的定义

三、教学方法是

讨论发现法，问题探究法。

四、设计的指导思想

现代认知心理学——建构主义学习理论。

五、设计的设计理念

为了学生的一切.

六、教学过程

（一）创设情境、导入课题

st1、在时间段( t0+△t)－

t0 = △t 内，刘翔的平均速度为: v

因此刘翔在跨过最后一栏的瞬时速度v就是他在t0

到t0+ Δ

t 这段时间内,当Δ

t趋向于

st零时平均速度的极限

，即

vlimt02、曲线的切线

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个极限

位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α, 那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. （二）实例分析、形成概念

物体的瞬时速度及切线的斜率的共同特点是什么？

函数的改变量

y与自变量的改变量

x比值的极限。

vlimssttstlimt0tt0t

ktanlim

yfx0xfx0limx0xx0xlimx0得出：

yfx0xfx0limxx0x提炼得出概念

导数的定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义，当自变量x在点x0处有改变量△x时，函数y相应的增量

△y= f(x0+ △x) －

f(x0)，RTCrpUDGiT y

比值就叫做yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率,即x

yf(x0x)f(x0)xx

当△x®0 时，如果

y有极限，我们就说函数f(x)在点x0处可导, 并把这个极限x叫做f(x)在x0处的导数(或变化率)记作5PCzVD7HxA f(x0)或y|xx0

即　f(x0)limΔx0

f(x0Δx)f(x0)Δx（三）组织讨论

深化认识

设计理念：

建构主义论：一切知识的学习都必须经过主体根据已有知识和经验进行

理解、加工、构建自己的意义后才能被纳入到主体原有的认知系统中。

如果对于函数yf（x）在每一个开区间（a，b）的每个点处都有导数此时对于每一个x（a，b）都对应着一个确定的导数f'(x),从而构成了一个新函数f'(x)，称这个函数f'(x)为函数在开区间的导函数，简称导数，也记为y',即y'f'(x)limx0yf(xx)f(x)

limx0xx说明：把x0换成x就是推导函数

y =f(x)的导函数的一般方法

说明：函数f(x)在某点x0处的导数f(x0)与x0所在的连续区间上的导函数f (x)区别与

联系？

求函数y=f(x)的导数可分如下三步:

(1)求函数的增量yf(xx)f(x);(2)求函数的增量与自变量的增量的比值:

yf(xx)f(x);xx(3)求极限，得导函数yf(x)limy

x0x例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 解:klimf(x0x)f(x0)x0x(1x)21(11)lim

x0x2x(x)2lim2.x0x因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后

利用点斜式求切线方程. 例limx02:设f(x)为可导函数,且满足条件f(1)f(1x)1

, 2x求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率. 解：f(x)是可导函数且limx0f(1)f(1x)1,

2x1f(1)f(1x)f(1x)f(1)lim1,lim2,

x02x01(1x)(1x)1f(1)2.故所求的斜率为-2 例3:已知曲线

y2x22

上一点P(1,2),用斜率的定义求过点P的切线的倾斜角

和切线方程. 解:KPlimy,而yf(1x)f(1)2(1x)222,

x0x2(1x)222y4x2(x)2limlimlimx0xx0x0xx[2(1x)222]lim4x2(1x)222x041.2122

KPtan1,45,即过P点切线的倾斜角等于45.

故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1. 例4:如图,已知曲线

yx3上一点P(2,),求:

(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 11(xx)3x31y3解：(1)yx3,ylimlim3x0xx03x13x2x3x(x)2(x)3

limx03x1lim[3x23xx(x)2]x2.3x01383y|x2224.即点P处的切线的斜率等于4.

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0. （四）小结

a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。

jLBHrnAILg b.要切实掌握求导数的三个步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。

c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。

（五）作业：课本