1.1.2 四种命题第二课时教学实录

1．1.3

四种命题间的相互关系

●三维目标

1.知识与技能

初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

●重点难点

重点：四种命题之间相互的关系．

难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．

通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．

课标解读

知识点1

【问题导思】

四种命题

1.理解“若p

，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题的概念．(重点) 2.能熟练地写出一个“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点) 3.掌握四种命题的相互关系并能判断命题的真假．(难点)

观察下面四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

命题(1)与其他三个命题条件与结论之间有什么关系？

【提示】

命题(1)(2)的条件与结论互换；

命题(1)(3)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题条件的否定和结论的否定．

命题(1)(4)，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定．

1．逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”．

2．否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若p，则q”．

3．逆否命题：如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若q，则p”. 知识点2四种命题的相互关系

【问题导思】

1．根据以上定义，如果把命题(2)称为原命题，那么其他三个命题分别是命题(2)的什么命题？

【提示】

命题(1)是原命题的逆命题；命题(3)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题

的否命题．

2．如果把命题(3)称为原命题呢？

【提示】

命题(1)是原命题的否命题；命题(2)是原命题的逆否命题；命题(4)是原命题的逆命题．

知识点3

【问题导思】

四种命题的真假性关系

1．你能判断知识1中四个命题的真假吗？

【提示】

(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．

2．互为逆否命题的真假性有无联系？

【提示】

有(可以再举一些实例验证)．

1．两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

2．两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.

类型1

四种命题的概念

写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；

(2)如果x＞10，那么x＞0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 【思路探究】

原命题――→“若p则q”―→分清p、q――→写出

表示由定义逆命题、否命

题、逆否命题

1．写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式，并写出条件和结论的否定：

①“换位”得到“若q，则p”为逆命题；

②“换质”(分别否定)得到“若p，则q”为否命题；

③“换位”又“换质”得到“若q，则p”为逆否命题．

2．命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的．

把本例中的命题改为以下命题后，请写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．

(1)全等三角形的对应边相等． (2)负数的平方是正数．

类型2

下列命题中正确的是(

) ①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；

②“正三角形都相似”的逆命题；

③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

A．①②③

B．①③ C．②③ D．①

四种命题真假的判断

【思路探究】

(1)你能直接改写命题并判断真假吗？

(2)四种命题的真假关系有何特点？能否利用这一关系判断？

1．一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

2.四种命题的真假性之间的关系：①两个命题是互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题是互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；③四种命题为真命题的个数

只能为0,2,4个．

(2013·汕头高二检测)命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(

) A．1

B．2

C．3

D．4 类型3

等价命题的应用

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆否命题的真假．

【思路探究】

(1)你能写出此命题的逆否命题并判断其真假吗？(2)直接判断此命题的真假可以吗？

由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当直接证明一个命题是真命题不容易证明时，则按“正难则反”的思想去思考，分析题目，证原命题的逆否命题成立．

判断命题“若x2＋x－2m＝0无实根，则m≤0”的真假，并证明你的结论．

不能正确否定命题的条件或结论致误

写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题．

【错解】

若x2＋y2≠0，则x，y全不为0. 【错因分析】

对原命题结论否定是错误的，“x，y全为0”的否定应为“x，y不全为0”，而不是“x，y全不为0.”

【防范措施】

要写出一个命题的否命题，需要既否定条件，又否定结论，有时只否定结论，得到的是原命题的否定，对条件和结论要进行正确的否定，如：“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，避免出现因不能正确否定条件和结论而出现错误．

【正解】

若x2＋y2≠0，则x，y不全为0. 【课堂小结】

1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后

(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．

2．四种命题的真假判断

原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).

1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(

) A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b

2．命题“若a＞b，则a－8＞b－8”的逆否命题是(

) A．若a＜b，则a－8＜b－8 B．若a－8＞b－8，则a＞b

C．若a≤b，则a－8≤b－8 D．若a－8≤b－8，则a≤b

3．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．

4．写出下列命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题．

(1)对顶角相等； (2)两个有理数的积是有理数．