1.1.3 四种命题间的相互关系优秀导入

1.1.3四种命题间的相互关系

腾冲市第三中学（谷从萍）

教学目标

1.知识与技能

初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．

2．过程与方法

培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．

3．情感、态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．

教学重点：四种命题之间相互的关系．

教学难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．

通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．

问题导思

观察下面四个命题：

(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．

(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．

(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．

(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）互否命题，命题（3）（4）是互逆命题. 一般地，四种命题的关系如下图：

上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？

【答案】以“思考”中命题（1）~（4）为例，并设命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它得逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题. 一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：

原命题

真

真

假

假

例题解析

例1 证明：若x2+y2=0，则x=y=0. 证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，

也就是说x2+y2 ≠0.

因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. 巩固练习

一、选择题

1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是(

) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数

【解析】

命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”

【答案】

A 2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是(

) A．原命题真，逆命题假

B．原命题假，逆命题真

C．原命题与逆命题均为真命题

D．原命题与逆命题均为假命题

【解析】

原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．

【答案】

A 3．有下列四个命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“相似三角形的周长相等”的否命题；

③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；

④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．

其中的真命题是(

) A．①②

C．①③

B．②③

D．③④

【解析】

①③是真命题，②④是假命题．

【答案】

C 4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“↔”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是(

) A．p↔r，s↔t

B．p↔t，s↔r

C．p↔s，r↔t

D．p↔r，s↔r

【解析】

因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p↔s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即r↔t.

【答案】

C 5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是(

) A．若a·b≠0，则a不垂直于b

B．若a⊥b，则a·b＝0 C．若a不垂直于b，则a·b≠0

D．若a·b≠0，则a⊥b

【解析】

原命题与其逆否命题为等价命题．

【答案】

C 二、填空题

6．下列命题中：

①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②正方形的四条边相等；

③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．

【解析】

②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．

【答案】

②③

①③

①②

7．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．

【解析】

①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．

【答案】

②

8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：

甲：小强非第一名，也非第二名；

乙：小强非第一名，而是第三名；

丙：小强非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．

【解析】

(1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综

上分析，可知小强得了第一名．

【答案】

一

三、解答题

9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．

(1)若a＞b，则ac2＞bc2；

(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．

解：(1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2. 逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真) 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真) 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假) (2)该命题为真命题．

逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真) 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真) 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真) (3)该命题为假命题．

当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．

逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假) 否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假) 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假) 10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．

(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．

否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜

－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．

(2)逆否命题是：f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．

因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，故原命题为真．所以逆否命题为真．

11．已知下列三个方程：

x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

解：假设三个方程都无实根，

Δ1＝a2＋4a－＜0，2－4a2＜0，则有Δ2＝a－Δ3＝a2＋8a＜0，

即1a＞或a＜－1，3－2＜a＜0.3解得－＜a＜－1. 231－＜a＜，22

3故三个方程中至少有一个方程有实根，则a的取值范围是a≥－1或a≤－

2课时小结

1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后

(1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题；

(2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；

(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题．

2．四种命题的真假判断

原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).