1.1.2 简单组合体的结构特征教学设计第二课时

空间几何体及其表面积、体积

1．空间几何体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.

多面体

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形. (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.

(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.

旋转体

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体

柱体(棱柱和圆柱)

锥体(棱锥和圆锥)

表面积

S表面积＝S侧＋2S底

S表面积＝S侧＋S底

体积

V＝Sh

1V＝Sh

31V＝(S上＋S下＋3S上S下)h

球

3.空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜二测画法，基本步骤：

(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)．

(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴、y′轴．

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

【思考辨析】

1 台体(棱台和圆台)

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝4πR2

4V＝πR3

3

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(

×

) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

×

) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(

×

) (4)圆柱的侧面展开图是矩形．(

√

) (5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算．(

√

)

1．下列说法正确的是________(填序号)．

①相等的角在直观图中仍然相等；

②相等的线段在直观图中仍然相等；

③正方形的直观图是正方形；

④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．

答案

④

解析

由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行性不变．

2．(2014·陕西改编)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是________．

答案

2π

解析

底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.

3．(2013·课标全国Ⅰ改编)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得如果不计容器的厚度，则球的体积为________ cm3. 器，容器高8 水深为6 cm，答案

500π

3设DE＝x，故AD解析

作出该球轴截面的图象如图所示，依题意BE＝2，AE＝CE＝4，＝2＋x，因为AD2＝AE2＋DE2，解得x＝3，故该球的半径AD＝5，

4500π所以V＝πR3＝. 334．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．

答案

6

2解析

由斜二测画法，知直观图是边长为1的正三角形，其原图是一个底为1，高为6的三角形，所以原

2

三角形的面积为6. 2

题型一

空间几何体的结构特征

例1

给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体；

⑤棱台的侧棱延长后交于一点．

其中正确命题的序号是________．

答案

②③④⑤

解析

①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面形；⑤正确，由棱台的概念可知．

思维升华

(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．

给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．

其中正确命题的个数是________．

答案

0个

解析

①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．

形，但不一定全个平面的二面于侧棱，又垂直都是直角三角

3

图1

图2 题型二

几何体的直观图

例2

(1)关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为________．

①直角三角形的直观图仍是直角三角形；

②梯形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是菱形；

④平行四边形的直观图仍是平行四边形．

(2)正三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的是________．

答案

(1)④

(2)62a

16直观图的面积解析

(1)由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成了斜坐标系，而平行性没有改变，因此，只有④正确．

(2)画出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如O′A′的中点．

1易知D′B′＝DB(D为OA的中点)，

212236∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2. 224416思维升华

解决有关“斜二侧画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．

(1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，结果为如图所示的一个正方形，则原来的平面图形为________．

图)．D′为

4

(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其cm，O′C′＝2 cm，则原图形的形状为________．

答案

(1)①

(2)菱形

解析

(1)平面图形的直观图为正方形，且其边长为1，对角线长为2，所以原平面图形为平行四边形，且位于x轴上的边长仍为1，位于y轴上的对角线长为22. (2)如图，在原图形OABC中，

应有OD＝2O′D′＝2×22 ＝42 cm，

CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝OD2＋CD2

＝422＋22＝6 cm，

∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

题型三

空间几何体的表面积

例3

有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．

(2)如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面积．

解

(1)设正方体的棱长为a，

①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面的中心，经过四a2心作截面如图①所示，有2r1＝a，∴r1＝，S1＝4πr21＝πa. 2个切点及球侧棱长为b，中O′A′＝6

②球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面如图②所示，有2r2＝2a，

5

r2＝22a，S2＝4πr22＝2πa. 23a，∴S32③正方体的各顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面如图③所示，有2r3＝3a，∴r3＝2＝4πr3＝3πa2. 综上可得，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. (2)如图，过A′作A′D⊥平面ABC于D，过D作DE⊥AB于E，连结A′E，A′F，AD. 则由∠A′AE＝∠A′AF，

AA′＝AA′，

得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，

∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC，

又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，

而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′，

∴四边形BCC′B′是矩形，

∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin 45°＋ab＝(2＋1)ab. 又∵斜三棱柱的底面积为2×323a＝a2，

4232a. 2DF⊥AC于F，

∴斜三棱柱的表面积为(2＋1)ab＋思维升华

(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的组合情况；(2)在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

3

一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是

cm. 2(1)求三棱台的斜高；

(2)求三棱台的侧面积和表面积．

解

(1)设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形3示，则O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的23过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝，

2因O1D1＝333×3＝，OD＝×6＝3，

62633＝. 22的中心，如图所斜高；

则DE＝OD－O1D1＝3－

6

在Rt△D1DE中，

D1D＝D1E2＋ED2＝

故三棱台斜高为3 cm. (2)设c、c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，

11273S侧＝(c＋c′)h′＝(3×3＋3×6)×3＝

(cm2)，

22227333S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62

244＝993

(cm2)．

432＋32＝3(cm)．

22273故三棱台的侧面积为

cm2，

2993表面积为

cm2. 4题型四

空间几何体的体积

例4

如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1CC1的中点，求四棱锥C1—B1EDF的体积．

思维点拨

思路一，先求出四棱锥C1—B1EDF的高及其底面积，再体积公式求出其体积；

思路二，先将四棱锥C1—B1EDF化为两个三棱锥B1—C1EF与再求四棱锥C1—B1EDF的体积．

解

方法一

连结A1C1，B1D1交于点O1，连结B1D，EF，过O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1⊄平面B1EDF，∴A1C1∥平面B1EDF. ∴C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的∵平面B1D1D⊥平面B1EDF，

平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D，

∴O1H⊥平面B1EDF，

即O1H为棱锥的高．

B1O1·DD16∵△B1O1H∽△B1DD1，∴O1H＝＝a. B1D6距离．

D—C1EF，利用棱锥的的棱A1A、1111161O1H＝3·∴VC1—B1EDF＝S四边形B1EDF··EF·B1D·O1H＝··2a·3a·a＝a3. 232663方法二

连结EF，B1D. 设B1到平面C1EF的距离为h1，D到平面C1EF的距离为h2，则h1＋h2＝B1D1＝2a. 由题意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EF

7

113＝·＝a. S·(h＋h)CEF12136思维升华

在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时，常常需要用到分割法．在求一个几何体被分成两部分的体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积．

如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则________. 答案

1∶24 解析

设三棱锥F－ADE的高为h，

11AE·sin∠DAEh2AD·3V11则＝＝. V21242h2AD2AEsin∠DAE2AA1的中点，V1∶V2＝

转化思想在立体几何计算中的应用

典例：如图，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为3的等边三角形，为AA′的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC′到M的为29，设这条最短路线与CC′的交点为N，求：

(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2)PC与NC的长；

(3)三棱锥C—MNP的体积．

思维点拨

(1)侧面展开图从哪里剪开展平；(2)MN＋NP最短在展开图上呈现怎样的形式；(3)三棱锥以谁做底好．

规范解答

解

(1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为42＋92＝97. (2)将该三棱柱的侧面沿棱BB′展开，如下图，设PC＝x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2. AA′＝4，M最短路线长

∵MP＝29，MA＝2，AC＝3，

∴x＝2，即PC＝2. PCNC2NC又NC∥AM，故＝，即＝. PAAM52

8

4∴NC＝. 51144(3)S△PCN＝×CP×CN＝×2×＝. 2255在三棱锥M—PCN中，M到面PCN的距离，

即h＝333×3＝. 221∴VC—MNP＝VM—PCN＝·h·S△PCN

3133423＝××＝. 3255温馨提醒

(1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”，即将空间几何体的“面”展开后铺在一个平面上，将问题转化为平面上的最值问题．

(2)如果已知的空间几何体是多面体，则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某条棱或者两个面的交线展开，把不在一个平面上的问题转化到一个平面上．

如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开，把曲面上的问题转化为平面上的问题．

(3)本题的易错点是，不知道从哪条侧棱剪开展平，不能正确地画出侧面展开图．缺乏空间图形向平面图形的转化意识.

方法与技巧

1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决．旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．

2．要注意将空间问题转化为平面问题．

3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．

4．一些几何体表面上的最短距离问题，常常利用几何体的展开图解决．

失误与防范

1．几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．

2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

9

A组

专项基础训练

(时间：40分钟) 1．下列叙述中正确的个数是________．

①相等的角，在直观图中仍相等；

②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；

③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；

④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直；

⑤全等的三角形的直观图仍全等．

答案

1 解析

由斜二测画法知③正确，其余均错误．

2．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________．

答案

10 解析

如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．

3．(2014·陕西改编)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱(底面是正方的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．

答案

4π

3形的直棱柱)两条：AC1，解析

正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点，

所以球的半径r＝

222＋2＝1，

224π4π球的体积V＝r3＝. 334．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，则三棱锥D1－EDF的体积为________．

1答案

6解析

VD1－EDF＝VF－DD1E

＝B1C上的点，1111SD1DE·AB＝111＝. 3326的半径为1，则5.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆该圆锥的体积为________．

答案

22π

3

10

122π解析

因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V＝×π×12×22＝. 336．已知三棱锥A—BCD的所有棱长都为2，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

答案

3π

解析

如图，构造正方体ANDM—FBEC.因为三棱锥A—BCD的所有棱以正方体ANDM—FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为3. 2以三棱锥长都为2，所易知三棱锥A—BCD的外接球就是正方体ANDM—FBEC的外接球，所A—BCD的外接球的半径为33.所以三棱锥A—BCD的外接球的表面积为S球＝4π2＝3π.

227.如图所示，E、F分别为正方体ABCD—A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是________．(填序号) 的中心，

答案

②

解析

四边形在面DCC1D1上的投影为②：B在面DCC1D1上的投影为C，F、E在面DCC1D1上的投影应在边CC1与DD1上，而不在四边形的内部，故①③④错误．

8．如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、B、C、D、O为顶点体积为________．

答案

82

3去△AOB，将的四面体的解析

折叠后的四面体如图所示．

1OA、OC、OD两两相互垂直，且OA＝OC＝OD＝22，体积V＝

S△OCD·OA382×(22)3＝. 39．已知一个上、下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高．

解

如图所示，三棱台ABC—A1B1C1中，O、O1分别为两底面中心，BC和B1C1的中点，则DD1为棱台的斜高．

由题意知A1B1＝20，AB＝30，

11 ＝11×32D、D1分别为

103则OD＝53，O1D1＝，

3由S侧＝S上＋S下，得

13×(20＋30)×3DD1＝×(202＋302)，

2413解得DD1＝3，

3在直角梯形O1ODD1中，

2O1O＝DD1－OD－O1D12＝43，

所以棱台的高为43 cm. 10.如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥个圆锥，求圆锥的表面积与体积．

解

设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，

形，以O为底面，围成一l＋r＋2r＝5＋2×2，由已知条件2πrπ

l＝2，解得r＝2，l＝42，S＝πrl＋πr2＝10π，

1230h＝l2－r2＝30，V＝πr2h＝π.

33B组

专项能力提升

(时间：30分钟) 1．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．

答案

2 1解析

设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r.则πl2＋πr2＝3π，πl＝2πr，∴r＝1，即圆锥的底面直径为2. 22．在四棱锥E—ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M为AE的中点，设E—ABCD的体积为V0，那么三棱锥M—EBC的体积为________．

答案

3V

100

解析

设点B到平面EMC的距离为h1，点D到平面EMC的距离为h2. 连结MD. 因为M是AE的中点，

1所以VM—ABCD＝V0. 21所以VE—MBC＝V0－VE—MDC. 2

12

而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC，

VE—MBCVB—EMCh1所以＝＝. VE—MDCVD—EMCh2h13因为B，D到平面EMC的距离即为到平面EAC的距离，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝. h22所以VE—MBC＝VM－EBC＝3V. 10013．已知圆台的母线长为4 cm，母线与轴的夹角为30°，上底面半径是下底面半径的，则这个圆台的侧面积2是________cm2. 答案

24π

解析

如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面，

由题意知AC＝4 cm，∠ASO＝30°，

1O1C＝OA，设O1C＝r，则OA＝2r，

2又O1COA＝＝sin 30°，

SCSA∴SC＝2r，SA＝4r，

∴AC＝SA－SC＝2r＝4 cm，∴r＝2 cm. 所以圆台的侧面积为S＝π(r＋2r)×4＝24π cm2. 4．已知正方形ABCD的边长为22，将△ABC沿对角线AC折起，面ACD，得到如图所示的三棱锥B－ACD.若O为AC边的中点，M，BO上的动点(不包括端点)，且BN＝CM.设BN＝x，则三棱锥N－AMC最大值为________．

答案

2

3使平面ABC⊥平N分别为线段DC，的体积y＝f(x)的解析

由平面ABC⊥平面ACD，且O为AC的中点可知BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱锥N－AMC11的高为ON＝2－x，S△AMC＝·MC·AD＝2x，故三棱锥N－AMC的体积为y＝f(x)＝·(2－x)·2x

231＝(－2x2＋22x)(0

332. 3四边形，∴x＝1时，ymax＝5．如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行DC⊥平面ABC，AB＝2，EB＝3. (1)求证：DE⊥平面ACD；

13

(2)设AC＝x，V(x)表示三棱锥B－ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值．

(1)证明

∵四边形DCBE为平行四边形，

∴CD∥BE，BC∥DE. ∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC. ∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC＝C，

∴BC⊥平面ADC. ∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC. (2)解

∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC. 在Rt△ABE中，AB＝2，EB＝3. 在Rt△ABC中，∵AC＝x，BC＝4－x2(0

∴S11△ABC＝2AC·BC＝2x·4－x2

∴V(x)＝VE－ABC＝36x·4－x2(0

∵x2(4－x2)≤(x2＋4－x222)＝4，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，取等号，

∴x＝2时，体积有最大值为33.

14