信息技术应用 图形技术与函数性质第二课时教案

《导数思想的应用——函数图像的局部变化》教学设计

编写人：苏宏英（广东仲元中学） 编写时间：2019-6-20 一、

教学内容分析

本节内容是复习课，是学生在高三复习导数的概念与导数的几何意义——切线方程后的一节对于导数思想的理解的课题。渐近线的概念在高中阶段是出现在双曲线的性质中，没有进行拓展的。导数的思想的关键就是在对函数图像上点的局部进行研究（割线的极限情况称为切线），虽然高中阶段的学生没有学习微积分的极限的准确数学概念，但通过导数的概念已经有了极限的思考方法。通过极限的思想对于研究函数的变化趋势，发现函数的图像的渐近线、变化趋势非常有价值。

复习用书中的试题能很好地对比函数的某点的局部变化趋势相同（切线相同），在接下来的图像的变化规律（图像变得陡峭还是平缓）等，在结合近几年的高考试题中的图像阅读理解题的分析，更能体现极限法在研究函数性质的价值。

二、

学情分析

教学对象是广东仲元中学高二文科班学生，学生的数学遗忘率较高，对数学的理解缺乏系统性，对数学思想的理解需要详细讲解分析。

为了提高课堂教学效果，实现学生的深度学习，在课堂上要给予学生充足的时间进行函数图像的分析与作图。

三、

教学目标分析

1.

知识技能：

（1）

通过典型的初等函数图像系统地掌握初等函数（指数函数、对数函数与幂函数）．．．的图像与性质的联系；

（2）

通过函数图像上点的导数值的大小理解函数图像的变化情况；

（3）

掌握导数概念中的极限的思想分析函数图像的渐近趋势，如垂直渐近线、水平渐近线或普通渐近线；

2.

过程与方法：

(1)

培养通过构成函数的各个初等函数的性质分析函数的整体性质，发现部分与总体的联系；

(2)

掌握用趋向于

的符号表示自变量或函数值的变化趋势的方法；

(3)

通过初等函数的四则运算得到的基本函数类的函数图像的性质；

3.

情感、态度与价值观

（1）

通过函数图像上点的导数值的分析掌握分析函数局部变化的方法，增加分析问题的角度与方法；

（2）

通过对基本函数类的构成分析，化归转化为基本初等函数的图像与性质，并体现基本初等函数的研究方法在分析基本函数类图像的性质时的价值；

（3）

通过分析函数图像的渐近线的性质，领会微积分的极限思想。

在教学设计中，为了学生能建立系统地分析函数图像的方法，采用课前进行作图准备，目的是：明确基本初等函数的系统性，典型的基本初等函数的“典型性”如何体现。

四、

教学重点与难点

教学重点：通过极限的分析方法，掌握函数图像的渐近线；

教学难点：如何分解基本函数成基本初等函数的四则运算。

五、

教学过程设计

1.复习梳理

作出典型的基本初等函数图像，尤其体会“典型”：体现出函数的定义域、奇偶性、函数图像分布的区域、函数图像间的位置关系：

y y

O x O

x

【设计意图】通过复习学习过程中提出的典型的基本初等函数图像，体现典型性：定义域、

函数的奇偶性、函数图像分布的区域、函数图像间的位置关系：

10h(x) = 10xr(x) = ()110648xg(x) = 3xq(x) = ()12xf(x) = 2xs(x) = log(x)log(2)u(x) = log(x)25510152t(x) = log(x)log()124

32.5g(x) = x32f(x) = x21.511h(x) = x20.52112345670.511.52

64f(x) = xg(x) = x22110551015246

8在学习了导数的概念后，更加对函数的局部变化有重视（导数的方法是用定量的方法分析函数的局部的变化），如上一节课复习的函数图像的切线问题：函数yex的图像在(0,1)处的切线方程是yex，切线过坐标原点，一样地，函数ylnx的图像在(1,0)处的切线方程是y1x，切线过坐标原点； e4.543.5f(x) = ex32.52f(x) = e∙xf(x) = x1.51f(x) = ()1e∙xh(x) = ln(x)0.5543210.512345678911.522.5

2. 问题思考、提出本节复习课的主题：

在函数性质后的函数图像主要是涉及函数图像的平移、伸缩、翻折等变换。在导数的概念后，要能用导数的思想刻画函数局部变化，这也是极限的数学思想。

问题：下面在同一个坐标系内作出下列函数图像：yx+，yx。

xx

y 11O x 总结反思： 【设计意图】分析平时常用的基本函数：

yx+11,yx的图像的细节：

xx对比yx+11,yx图像与性质，以及函数图像与yx之间的位置关系发现：当xx11在yx的上方，yx在yx的下方，且同一个x值，xxx0时，yx+11yx+,yx与yx之间的纵坐标之差的绝对值相等；

xx在x0,yx111、

中y+，yx中y（与函数yx，y的关系）xxx11，yx均以yx为渐近线；

xx在x+,yx

64f(x) = x + 1x2h(x) = x1g(x) = x

x5510246

684f(x) = x + 1x2h(x) = x5g(x) = x

1x510246

还有局部的图像特点：

8

864f(x) = x + 1x2h(x) = x5g(x) = x

1x5101520246

1yx在(1,2)分切线的斜率为0，切线与x轴平行；

x81yx在(1,0)切线的斜率为2 。

x

3.典型例题.《步步高》P33,例3（1）已知函数yf(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数yf(x)的图像如图所示，则该函数的图像是

【设计意图】根据导函数在点处的导数值判断函数在相应点的变化趋势：在x= 1,x=1的倾斜程度相同，但比在x=0处的倾斜程度小，进而分析函数图像的变化特点，得到选项B。

同步演练

《步步高》P33.易错自纠4 如图所示为函数yf(x)、yg(x)的导函数的图像，

那么函数yf(x)、yg(x)的图像可能是：

【设计意图】解题思路：在交点x0处切线的斜率相等（可排除选项A、B、C），在x0左右附近的变化不同：yf(x)左边陡峭、右边平缓了，yg(x)左边平缓、右边陡峭（可排除选项A、C）。

4.高考典型题. exex问题1：2018年Ⅱ理科3、文科3．函数f(x)的图像大致为

x2

探究如下函数图像，是否有水平渐近线或垂直渐近线、或其它渐近线：

（1）函数yex+x与yexx的图像；

y y O x O x

（2）函数yex+

（3）函数yex

11的图像与函数的图像；

yxxxee+ey y O x O x 11的图像与函数的图像；

yxxxeeey y O x O x 问题2：2017年Ⅲ卷文科7．函数y1+x+sinx的部分图像大致为

x2

A．

B． C．

D．

思考：探究函数y

sinx图像的特点. xy O x 【设计意图】用导数的方法分析、对比函数yex+x与yexx的图像：

x函数ye+x是R上单调递增函数，函数在直线yx的上方，且xx,ye以x（为什么？因为yex+1，x,y1在无穷y为渐近线x小的点的切线的斜率趋向1），函数yex+x的图像与；

1x00（牛顿二分法）x轴的交点的横坐标x0满足

43.532.5f(x) = ex + xg(x) = x21.510.5321123456780.511.522.53

函数yxe的x图像在x,yxe以x为渐近线yx，x+,yxe中x函数图像在y+x=0处取得极小值y极小值1；

864f(x) = ex

x2g(x) = x552

问题：如何分析函数yex+1ex的图像？4

分析：定义域为R，偶函数，根据复合函数的单调性，可以判断在6x0时单调递增。8在10

8642f(x) = ex + 1ex51015

2问题：如何分析函数y1的图像？

xxe+e分析：定义域为R，偶函数，根据复合函数的单调性，可以判断在x0时单调递减。

21f(x) = 1ex + 1ex24681012421

2问题：如何分析函数yex431的图像？

xe分析：定义域为R，奇函数，根据复合函数的单调性，可以判断在x0时单调递增。

5654321f(x) = ex

1ex2246810121234

5问题：如何分析函数y1的图像？

xxee

分析：定义域为R，奇函数，根据复合函数的单调性，可以判断在x0时单调递减。

64f(x) = 21ex

1ex55101520246

8问题：如何分析y10sinxsinx的函数图像？函数ysinx、函数yx对y的作用是什xx么？分析ysinx的性质有哪些？

x分析：定义域xxR,x0，函数是偶函数，函数图像关于y轴对称，函数ysinx使函数ysinxsinx有正负符号；yx在分母，当x,y的y0，函数图像以xxxsinx的y1。

x轴为渐近线；ysinx与yx相切于点(0,0)，x0+,y42f(x) = sin(x)xπ3π2πππ2π3π4π5π6π72

sinx2017年Ⅲ卷文科7．函数y=1+x+2的部分图像大致为（此题适合重点讲解）

x684A．

B．

C．

D．

5.课后作业：

1.2019年全国Ⅰ卷理科5、文科5.函数f(x)sinxxcosxx2在[,]的图像大致为（A.B.

C.D.

年Ⅲ理科7.函数y2x32.20192x2x在[6,6]的图像大致为（ ）

A.

B.

）

C.

D.

3. 2017年文科Ⅰ卷8．.函数ysin2x的部分图像大致为

1cosx

4. 2016年Ⅰ理科7、文科9 （9）函数y2x2e在2,2的图像大致为

x（A）（B）

（C）（D）

【设计意图】以高考试题的典型性，考查学生对用极限法分析函数图像渐近线方法的掌握情况。

课后反思：本人在授课的准备过程中阅读了大学的微积分教材以及关于高考试题分析、教学法的专业书籍，设计本课题，既补充了以往学生对图像分析的片面性：定义域、奇偶性、单调性、值域，还增加、强化了渐近线在函数性质中的重要性。传授给学生更好的分析角度与分析方法。教学设计中，考虑文科学生的优缺点，重视学生的教学实践与教学参与程度，加深学生的理解程度。