1.2.1 充分条件与必要条件设计意图

1.2.1 充分条件与必要条件

教学目标

1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．

2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．

３.情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．

教学重点

充分条件、必要条件的概念．

教学难点

判断命题的充分条件、必要条件。

教学过程

[基础·初探] 教材整理1 充分条件与必要条件

阅读教材P9～P10部分，完成下列问题. 充分条件与必要条件

命题真假

推出关系

“若p，则q”为真“若p，则q”为命题

p⇒q 假命题

p⇒/

q

p不是q的充分条条件关系

p是q的充分条件

件

q是p的必要条件

q不是p的必要条件

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.(

) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.(

) (3)x＞a2＋b2(a＞0，b＞0)是x＞2ab的充分条件.(

) 【答案】

(1)√

(2)×

(3)√

教材整理2 充要条件

阅读教材P11～P12部分，完成下列问题. 充要条件

1.推出关系：p⇒q，且q⇒p，记作p⇔q. 2.简称：p是q的充分必要条件，简称充要条件. 3.意义：p⇔q，则p是q的充要条件或q是p的充要条件，即p与q互为充要条件.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(

)Ziyuanku.com (3)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立.(

) 【答案】

(1)√

(2)√

(3)√

[小组合作型]

充分、必要、充要条件的判断

指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答). (1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；

(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；

(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；

a(4)p：a＜b，q：b＜1. 【精彩点拨】

根据定义法，集合法，等价法作出判断.WWW.ziyuanku.com

【自主解答】(1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充分必要条件.

(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即﹁q⇒﹁p，但﹁p⇒﹁q，所以p是q的充分不必要条件.

(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件. a(4)由于a＜b，当b＜0时，b＞1；

aa当b＞0时，b＜1，故若a＜b，不一定有b＜1；

a当a＞0，b＞0，b＜1时，可以推出a＜b；

a当a＜0，b＜0，b＜1时，可以推出a＞b.

因此p是q的既不充分也不必要条件.

充分、必要、充要条件的判断方法

1.定义法

若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分条件；

若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件.

2.集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A若AB，则p是q的充分条件；

B，则p是q的必要条件；

即小范围可推出大范围，大范围不能推出小范围.

3.等价法

等价转化法就是在判断含有“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断.

[再练一题] 1.设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的(

) A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】

由2x＞1＝20得x＞0，所以p⇒q但q⇒/

p，所以p是q的充分条件.

【答案】

A 充分条件、必要条件、充要条件的

应用

是否存在实数p，使4x＋p＜0是x2－x－2＞0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 【精彩点拨】

用集合的观点研究问题，先求出4x＋p＜0和x2－x－2＞0所对应的集合，再由“4x＋p＜0”⇒“x2－x－2＞0”求p的范围.

【自主解答】

由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1，

令A＝{x|x＞2或x＜－1}，

px＜－由4x＋p＜0，得B＝

x4，

p当B⊆A时，即－4≤－1，即p≥4，

p此时x＜－4≤－1⇒x2－x－2＞0，

∴当p≥4时，4x＋p$来&源：ziyuanku.com＜0是x2－x－2＞0的充分条件.

1.解答本题的关键是分清4x＋p＜0⇒x2－x－2＞0. 2.解答这类题主要根据充分条件、必要条件与集合的关系，转化为集合与集合间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.

[再练一题] 2.若p：x(x－3)<0是q：2x－3

p：x(x－3)<0，则0

m＋3则x<2，

由题意知p⇒q，

m＋3∴2≥2中·华.资*源%库

ziyuanku.com，

∴m≥3.

【答案】

m≥3 [探究共研型]

有关充要条件的证明或求解

探究1 如何证明充要条件？

【提示】

充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性. 探究2

充要条件的证明与探求应注意哪些问题？

【提示】

(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：

①p是q的充要条件，则

由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；

②p的充要条件是q，则

由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.

(2)探求充要条件，可先证必要性，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件. 11

已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：x0.

【精彩点拨】

依题意，分别证明充分性和必要性.

y－x1111【自主解答】

必要性：由x

又由x>y，得y－x<0.所以xy>0.

充分性：由xy>0及x>y，

xy11得xy>xy，即x

11综上所述，x0.

1.证明p是q的充要条件，既要证明命题“p⇒q”为真，又要证明“q⇒p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性. 2.证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论.

[再练一题] 3.求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0. 【证明】

假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，

q：a＋b＋c＝0.

(1)证明p⇒q，即证明必要性.

∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，

∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.

(2)证明q⇒p，即证明充分性.

由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.

∵ax2＋bx＋c＝0，

∴ax2＋bx－a－b＝0，

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.

故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.

∴x＝1是方程的一个根. 故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.

1.“|x|＝|y|”是“x＝y”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3.若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的

取值范围是________.

课时小结

1定义

2判断步骤

3.判断技巧