3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优质课教案整理

3.1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

课时目标

1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．

1．空间向量基本定理

(1)设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，那么，对于空间任一向量p，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p在i、j、k上的分向量．

(2)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________．

(3)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．

2．空间向量的坐标表示

若e1、e2、e3是有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任意一个向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．

一、选择题

1．在以下3个命题中，真命题的个数是(

) ①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；

②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；

③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．

A．0

B．1

C．2

D．3 →→→→→2.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝OA＋OB＋OC，向量b＝OA＋OB→－OC，则与a、b不能构成空间基底的是(

) →→→→→A. OA

B．OB

C.OC

D.OA或OB

3．以下四个命题中，正确的是(

) 1→1→A.若OP＝OA＋OB，则P、A、B三点共线

23B．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底

C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c| →→D.

△ABC是直角三角形的充要条件AB·AC＝0 4.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3G,G1若OG→→→＝xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为(

) 111333A．(，，)

B．(，，) 444444111222C．(，，)

D．(，，) 3333335．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则

点A在基底{i，j，k}下的坐标是(

) A．(12,14,10)

B．(10,12,14) C．(14,12,10)

D．(4,3,2) →→→6.已知空间四边形OABC中OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，→N为BC的中点，则MN等于(

) 121211A.a－b＋c

B．－a＋b＋c

232322111221C.a＋b－c

D.a＋b－c

222332二、填空题

7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．

→→8.已知空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点→分别为E、F，则EF＝____________. →→9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，AO＝xAB＋yBC＋→zCC1，则x＋y＋z＝______. 三、解答题

→→→10.四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设OA＝a，OC＝b，OP＝c，E、→→→→F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示BF、BE、AE、EF.

11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,→求MN、DC的坐标．

能力提升

12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.

13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.

1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．

→→→→2.

OP＝xOA＝xOA＋yOB＋zOC，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．

3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：

(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．

(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.

3．1.4

空间向量的正交分解及其坐标表示

知识梳理

1．(1)有序实数组{x，y，z}

p＝xi＋yj＋zk

xi

yj

zk

(2)不共面

p＝xa＋yb＋zc

(3){p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}

基底

基向量

不共面

2．单位正交基底

p＝(x，y，z) 作业设计

1．C

[命题①，②是真命题，命题③是假命题．] →1→2．C

[∵OC＝(a－b)，OC与a、b共面，

2→∴a，b，OC不能构成空间基底．] →1→1→3．B

[A中若OP＝OA＋OB，则P、A、B三点共线，故A错；

22B中，假设存在实数k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，

k1＝1；则有k1＋k2＝0；k2＝1.

方程组无解，

即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正确．

C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C错．

→→D中，由AB·AC＝0⇒△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，→→则有BA·BC＝0.故D错．] →3→3→→4．A

[因为OG＝OG1＝(OA＋AG1) 443→321→→＝OA＋×[(AB＋AC)] 44323→1→→→→＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)] 441→1→1→＝OA＋OB＋OC，

444→→→→而OG＝xOA＋yOB＋zOC，

111所以x＝，y＝，z＝.] 4445．A

[设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，

则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i

＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．] →→→1→→2→6．B

[MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA

23211＝－a＋b＋c.] 3227．(3,2，－1)，(－2,4,2) 8．3a＋3b－5c

→→→→解析

∵EF＝EA＋AB＋BF，

→→→→又EF＝EC＋CD＋DF，

∴两式相加得

→→→→→→→2EF＝(EA＋EC)＋AB＋CD＋(BF＋DF)．

→→→∵E为AC中点，故EA＋EC＝0，同理BF＋DF＝0，

→→→∴2EF＝AB＋CD＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c) →＝6a＋6b－10c，∴EF＝3a＋3b－5c. 39.

2→1→1→→→解析

AO＝AC1＝(AB＋BC＋CC1)．

2213故x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝. 22→1→1→→10．解

BF＝BP＝(BO＋OP) 221111＝(c－b－a)＝－a－b＋c. 22221→→→→BE＝BC＋CE＝－a＋2CP

1→→＝－a＋(CO＋OP) 211＝－a－b＋c. 22→→→AE＝AP＋PE

→→1→→＝AO＋OP＋(PO＋OC)

21＝－a＋c＋(－c＋b) 211＝－a＋b＋c. 22→1→1→1EF＝2CB＝2OA＝2a. 11．解

∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，

→→→∴可设DA＝e1，AB＝e2，AP＝e3. 以e1、e2、e3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．

→→→→∵MN＝MA＋AP＋PN

→→1→＝MA＋AP＋PC

2→→1→→→＝MA＋AP＋(PA＋AD＋DC) 211＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2) 2211＝－e1＋e3，

2211→→→－，0，，DC＝AB＝e2＝(0,1,0)．

∴MN＝2212．解

由题意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k. 又因为F＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.

→→→13．证明

设AB＝a，AD＝c，AA1＝b，

→→→则EF＝EB1＋B1F

1→→＝(BB1＋B1D 1) 21→→＝(AA1＋BD) 21→→→1＝(AA1＋AD－AB)＝(－a＋b＋c)，

22→→→→→AB1＝AB＋EB1＝AB＋AA1＝a＋b. →→1∴EF·AB1＝2(－a＋b＋c)·(a＋b) 1＝(b2－a2－a·b＋a·b＋c·a＋c·b) 21＝(|b|2－|a|2)＝0. 2→→∴EF⊥AB1，即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.