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《抛物线》习题2.4教学设计

河北省唐县第一中学

王伟轻

一、教材分析

在这一章的三种圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线中，抛物线被安排在最后，抛物线体现圆锥曲线的共性和个性，并且由它构建整章的知识网络，形成知识体系。在高考试卷中往往以选择题、填空题和解答题的形式出现。本节的重点是抛物线定义和抛物线标准方程的建立，难点是求抛物线的标准方程和四种标准方程的应用。针对以上的重点和难点，在教学设计时又充分考虑到教学对象是普通高中学生这一点，对教材作适当调整：对例题1，由于初学者对多种抛物线形式易混，必须及时做双向的练习加以巩固，即由方程到焦点、准线，再由焦点、准线到方程。在理解、掌握和强化中完成目标。例题2则放在下一小结中，系统学习抛物线的弦长问题时解决，它也是本节的一个重点。例3是一计算为难点的综合问题

二、教学目标

①使学生掌握抛物线的定义及其标准方程；②会用解析几何的坐标法建立抛物线的标准方程；③理解标准方程中参数P的几何意义，能根据条件求抛物线的标准方程，并会由标准方程求相应的准线方程、焦点坐标，画出其图形；④培养学生的数形结合思想及主动探究精神，提高学生的分析、对比和概括能力。

三、教学重点、难点

教学重点是掌握抛物线的几何性质，使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程和一些实际应用。

教学难点在研究直线与抛物线位置关系时，对学生的计算能力要求较高。

四、教学方法

依据新课程理念倡导的“自主、探究、合作、交流”的学习方式，结合本课教材的特点和学生的实际情况。我采用了“启发探究式”的教学方法。在椭圆、双曲线的学习中，学生已经尝试了求曲线方程的方法，因此完全可以用类比的方法，亲身体会数学知识的发生、发展过程。“探究式”学习方式是一种流行的教学方式，但如何做到“实质性”探究，不流于形式。教师只有提高自身的数学素养，理解数学本质，挖掘“本原性”问题，才能驾驭真正的“探究”。

五、教学过程

知识点一

抛物线方程的四种形式

标准方程

y2＝2px(p>0)

y2＝－2px(p>0)

x2＝2py(p>0)

x2＝－2py(p>0)

图形

范围

对称轴

x≥0，y∈R

x轴

x≤0，y∈R

x轴

y≥0，x∈R

y轴

y≤0，x∈R

y轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

通径长

知识点二

直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方y＝kx＋b，程组2y＝2pxpF(2，0)

px＝－2

pF(－2，0)

px＝2

pF(－2，0)

py＝－2

pF(－2，0)

py＝2

O(0，0)

e＝1

2p

解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 ___ 个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有 ___个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线 ___ 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴 ___，此时直线与抛物线有 ___ 个公共点. 试一试

双击题目

基础更牢固

1.准线方程为x=2标准方程为 2.抛物线y2 =8x上到焦点F的距离等于6的点的坐标是 3.抛物线y2 =2px (p>0)上一点M到焦点F的距离为2p,求M点坐标_______ 4.若一动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则该点的轨迹是______

探究点一

抛物线的标准方程

例1 抛物线的顶点在原点，对称轴是椭圆＋＝1短轴所在的直49线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及准线方程．

解

∵椭圆＋＝1短轴在x轴上，

49∴抛物线的对称轴为x轴，

设抛物线的标准方程为y2＝2px或y2＝－2px (p>0)，

∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝－12x，准线方程分别为x＝－3和x2y2x2y2x＝3. ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴＝3，即p＝6，

2小结

求抛物线的标准方程要明确四个步骤：

(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；

(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；

(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；

(4)得出抛物线的标准方程．

跟踪训练1

求以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准89方程及准线方程．

探究点二

抛物线几何性质

例2 抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线

|PF|上的动点，若点A(－1，0)，求的最小值. |PA|px2y2

解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，

如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，

由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，

|PN|连接PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝，

|PA||PN||PF|当＝最小时，sin∠PAN最小，

|PA||PA|即∠PAN最小，即∠PAF最大，

此时，PA为抛物线的切线，

小结

(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线

段叫做抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其

焦半径的长分别为：

①抛物线y＝2px(p>0)，|PF|＝|x0＋|＝＋x0；

22②抛物线y＝－2px(p>0)，|PF|＝|x0－|＝－x0；

22③抛物线x＝2py(p>0)，|PF|＝|y0＋|＝＋y0；

22④抛物线x2＝－2py(p>0)，|PF|＝|y0－|＝－y0. 22（2）已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为

抛物线的焦点，A(x1 , y1)，B(x2，y2)，则：

①y1·y2＝－p2，x1·x2＝；

42p②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；

sin2θ2③＋＝；

|AF||BF|p④以AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 11222ppppppppp2

(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，

直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长

等于2p. 跟踪训练2

(1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为____. 解：由抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，得直线的方程为y＝x－2，代入y2＝8x得(x－2)2＝8x即x2－12x＋4＝0.所以x1＋x2＝12，弦长为x1＋x2＝12＋4＝16. 探究点三

抛物线中的定值、定点问题

例3

如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2) 作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物

线于B、C两点，求证：直线BC的斜率

是定值．

证明

设kAB＝k (k≠0)，

∵直线AB，AC的倾斜角互补

∴kAC＝－k(k≠0)，∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2. y＝kx－4＋2，由方程组2

y＝x，

消去y后，整理得

k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.

∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．

16k2－16k＋44k2－4k＋1∴4·xB＝，即xB＝，

22kk4k2＋4k＋1以－k代换xB中的k，得xC＝，

2kyB－yCkxB－42－[－kxC－4＝∴kBC＝2]

xB－xCxB－xC8k2＋2＝kxk2－8B＋xC－8k1xx＝＝－. B－C－8k4k2所以直线BC的斜率为定值．

跟踪训练3

A、B为抛物线y2＝2px (p>0)上两点，⊥OB，求证直线AB过定点．

证明

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵OA⊥OB⇒x1x2＋y1y2＝0，

A，B在抛物线上⇒y2221y2＝4px1x2，

∴y＝－4p21·y2x1·x，

2＝4p2

ly2pAB：y－1＝y(x－x1)，

1＋y2∴y－y2py21＝yx－1

1＋y22p∴y＝2py212p4y·x－＋yp21＝·x－

1＋y2y1＋y2y1＋y2y1＋y2＝2py(x－2p)，

1＋y2为原点，若OAO

∴直线AB过定点(2p,0)．

六、课堂小结

1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题. 2.在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数关系的利用、焦半径的转化等. 3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.

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