3.1.3 导数的几何意义教学实录

导数的几何意义

安达田家炳高中

李晶

【教学目标】

知识与技能目标：

(1) 通过复习旧知“求导数的两个步骤”以及“平均变化率与割线斜率的关系”，解决了平均变化率的几何意义后，明确探究导数的几何意义可以依据导数概念的形成寻求解决问题的途径。

(2) 借助两个类比的动画，从圆中割线和切线的变化联系，推广到一般曲线中用割线逼近的方法直观定义切线。

(3) 依据割线与切线的变化联系，数形结合探究函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义，使学生认识到导数f(x0)就是函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率。即：

f/x0limx0fx0xf(x0)＝曲线在xx0处切线的斜率

x在此基础上，通过例题和练习使学生学会利用导数的几何意义解释实际生活问题，加深对导数内涵的理解。在学习过程中感受逼近的思想方法，了解“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：

(1) 学生通过观察感知、培养学生的动手和感知发现的能力。 (2) 学生通过对圆的切线和割线联系的认识，再类比探索一般曲线的情况，完善对切线的认知，感受逼近的思想，体会相切是种局部性质的本质，有助于数

学思维能力的提高。

情感、态度、价值观：

通过在探究过程中渗透逼近和以直代曲思想，使学生了解近似与精确间的辨证关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值；

【教学重点与难点】

重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合、以直代曲的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

教

学

过

程

一、创设情境、导入新课

1.回顾旧知、引出研究的问题：

前面我们学习了函数在xx0处的导数f(x0)就是函数在该点处的瞬时变化．．．．率。那么：

．问：(1)

求导数f(x0)的步骤有哪几步?

fxxf(x0)生：第一步：求平均变化率y0；

xxfxxf(x0)第二步：求瞬时变化率f(x0)lim0. x0x（即x0，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数）

．．．．．．．．fxxf(x0) (2)观察函数yf(x)的图象，平均变化率y0

在图形中表xx示什么？

yy师：这就是平均变化率()的几何意义，那么瞬时变化率()在图中又lim．．．．．．．．．．．．x0xx表示什么呢？今天我们就来探究导数的几何意义。

二、引导探究、获得新知

1.动画类比，得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究x0，割线的变化．．．．．趋势，看下面的动画。

．．◆多媒体显示【动画1】：

圆上点A处的切线AT和割线AB，演示点B从右边沿着圆逼近点A ,然后再从左边沿着圆逼近点A ，即x0，割线AB的变化趋势。

教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？

生：先感知后发现，当x0，随着点B沿着圆逼近点A，割线AB无限趋近于点A处的切线。

◆把割线逼近切线的结论从圆推广到一般曲线，可得：

多媒体显示【动画2】：

动态演示教材上点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势图。

师：类比【动画1】，当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，即x0，研究割线PPn的变化趋势。

学生观察【动画2】，类比得出一般曲线的切线定义：

当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

突破研究的难点：x0，割线PPn点P处的切线

那么：x0，割线的斜率？与导数f(x0)又有何关系呢？学生自选A或B组题目进行下面的探究活动。

2.数形结合，探究导数的几何意义

结合【动画2】的变化过程，学生思考下面的问题，探究导数的几何意义。

1.已知曲线上两点P(x0,f(x0)),Pn(x0x,f(x0x))：

(1)根据切线定义可知：x0，割线PPn趋近于切线PT

。那么割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k又有何关系？

生： 当x0,则

knk,即klimkn x0(2)对比“x0时，平均变化率趋近的确定常数就是瞬时变化率”，又割线的斜率对应平均变化率，那么切线的斜率对应什么？

生：切线的斜率对应该点处的瞬时变化率，即该点处的导数。

2.结合上面的研究过程，你能指出导数f(x0)的几何意义吗？

生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：klimx0fx0xf(x0)f(x0)

x3.在上面的研究过程中，某点处的割线斜率与切线斜率与某点附近的平均变化率和瞬时变化率有何联系？

三、探索小结、重点讲评

1.获得导数的几何意义

◆学生快速探究活动后，展示研究成果，教师重点讲评：

割线PPn的斜率是knf(x0x)f(x0), (x0x)x0当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率k，即

klimx0f(x0x)f(x0)f(x0)

x切线PT的斜率k即为函数在xx0处的导数。

导数的几何意义：

f(x0)limx0f(x0x)f(x0)曲线在xx0处的切线的斜率k

x师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

2.了解以直代曲思想

把点P附近函数的图象放大，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线。

P

师：在某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势有何关系？如果切线的斜率为正，则该点附近曲线的增减情况怎样？

PP六、归纳总结、深化认识

这节课我们学习了哪些知识和方法？

1、函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义就是函数f(x)的图象在xx0处的切线的斜率。

2、数学思想方法：体会“数形结合”的思想方法、

“以直代曲”的思想方法。